Hello les lycéens

Vous voulez arriver en pleine forme en prépa l'an prochain avec un niveau pas trop faible en maths pour viser au terme des 2 ans autre chose que Polytech Lille

Bah voilà ici je posterai plein d'exos sympas pour vous mes futurs taupins qui prendront un jour la relève de ce forum. Oui on commence à se faire vieux

Afin que la promotion 2015 (voire 2016 pour certains...) soit un peu meilleure que l'actuelle de 2013. Je crois en vous

Rappels des caractères utiles :

Lettres
ℂ ℍ ℕ ℙ ℚ ℝ ℤ ⅅ ⅆ ⅇ ⅈ ℓ Å ℬ ℮ ℰ ℱ ℋ ℒ ℳ ℛ ℵ ℶ ℜ ℑ

Lettres grecques
α β δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ σ τ υ φ χ ψ ω

Flèches et opérateurs
∏ ∑ − ± × · ÷ ∘ ∝ ∣ ∤ ∥ ∦ ⊥ ∧ ∨ ¬ ∴ ⊻ ⊼ ⊽ ⋀ ⋁ ≃ ≄ ≈ ≉ ≘ ≙ ≝ ≞ ≟ ≠ ≡ ≢ ≤ ≥ ≪ ≫ ⩽ ⩾

Symboles divers
∀ ∂ ∃ ∄ ∆ ∇ ⁰ ¹ ² ³ √ ∛ ∜ ∞ ‖ ∟ ∠ ∡ ∢ ⊾ ⊿ ∫ ∮ ∯ ∰ ∿ ⋮ ⋯ ⋰ ⋱ ✓ ✔ ✗ ✘ « » ∅ ∈ ∉ ∊ ∋ ∌ ∍ ∖ ∩ ∪ ⊂ ⊃ ⊄ ⊅ ⊆ ⊇ ⋂ ⋃

Exo du jour sur la récurrence

1) Montrer que 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = (1+2+...+n)²
2) Soit (un)n≥1 une suite à termes strictement positifs telle que u1 = 1 et pour tout n on ait :

u1³+u2³+....+un³ = (u1+u2+...+un)²

Montrer que pour tout n on a : un = n

La 1ere question ne devrait pas poser trop de problèmes, la 2e est plus compliquée

Et surtout le mot de fin j'espère que ce topic sera utile

Tiens, tu l'avais déjà posé cet exo.

Les classiques avant tout

Bonne initiative je vais regarder ça !

3 à gauche, 2 à droite

Y'a pas à TOUT développer, dans (1+2+...+n+(n+1))² tu considères juste 2 termes : 1+2+...+n, et n+1. Et après c'est immédiat.

Je laisse Neji12 terminer le 1er.
Sinon j'ai quelque chose à proposer pour le 2ème.

Vas-y te gêne pas.

Je ne serai pas sur mon phone j'aurai essayé surtout que j'ai une idée de réponse

J'ai pensé à une récurrence ?

Bah jlai dit c'est un exo sur la récurrence

On raisonne par récurrence forte.
La propriété est vérifiée pour n = 1.

On suppose que pour tout entier k inférieur ou égale à un entier n fixé on a: uk = k. Montrons que cela implique u(n+1) = n+1

u1³+u2³+....+un³ + u(n+1)³ = (u1+u2+...+un + u(n+1))²
donc 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ + u(n+1)³ = (1+2+...+n+ u(n+1) )² par hypothèse de récurrence
donc 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ + u(n+1)³ = (1+2+...+n)² + u(n+1)² + 2*u(n+1)*(1+2+...+n)
donc u(n+1)³ = u(n+1)² + u(n+1)*(n+1)*n
On divise par u(n+1) les deux membres car u(n+1) > 0. Puis on détermine les solutions du trinôme. On trouve (si j'ai pas fait d'erreur) u(n+1)= -n ou u(n+1)= n+1 donc u(n+1) = n+1 car u(n+1) > 0.
La propriété est aussi vraie pour n+1 donc par principe de récurrence elle est vraie pour tout entier > 0.

les racines du trinôme*

GG logical

Les autres regardez pas la solution pour la question 2 de logical si vous voulez essayer aussi

C'est bon Neiji.

(et Logical aussi)

D'accord merci !
Si vous en avez d'autres je suis preneur car je pars en vacances demain !

Quelle prépa Neji12 ?

Cool j'avais la solution dans ma tête
Mais je trouve que c'était pas très difficile

Neiji si t'as pas regardé la réponse de Logical tu peux quand même tenter la 2ème question !

Et c'est pas une excuse, en PCSI t'auras des exos plus durs que ça.