Un exo ultra classique, la démonstration est loin d'être difficile mais elle est fondamentale

Soit f une fonction de R dans R.
Montrer qu'il existe g paire et h impaire tel que f = g+h et que g et h sont uniques.

Et eavesdrop poste pas tout de suite ta solution

Supposons que g et h existent.
Alors f(-x)=g(-x)+h(-x) = g(x)-h(x)
Donc (f(x)+f(-x))/2 = g(x) et (f(x)-f(-x))/2 = h(x).

C'est juste ? Faut que je fasse la reciproque aussi sinon

Supposons que (f(x)+f(-x))/2 = g(x) et (f(x)-f(-x))/2 = h(x).
On a bien f(x) = g(x)+h(x).
g(-x) = (f(-x)+f(x))/2 = g(x) et h(-x) = (f(-x)-f(x))/2 = -h(x). Donc g est bien paire et h impaire.

La demo est finie

C'est sympa ça fait un peu équation fonctionnelle mais en plus simple !

Il manque l'unicité dude !

Mon premier post montre l'unicité et le second l'existence non ?

Premier post: si ces fonctions existent alors les seules fonctions possibles sont g(x)=... h(x)=...
On montre donc l'unicité.

2nd post: ces deux fonctions repondent au problème ce qui prouve l'existence d'au moins deux solutions au problème.

Donc ce sont ils existent deux solutions et elles sont uniques

f(x)=h(x)+g(x)

f(-x)=h(-x)+g(-x)
f(-x)=-h(x)+g(x)

f(x)+f(-x)=2g(x) <=> g(x)= 1/2*(f(x)+f(-x)) (E
f(x)-f(-x)=2h(x) <=> h(x)=1/2 * (f(x)-f(-x))
g(-x)=1/2 * (f(-x)+f(x))=g(x)
i(-x)=1/2 * (f(-x)-f(x))=-1/2 *(f(x)-f(-x))=i(x)

f(0)=h(0)+g(0)
f(0)=-h(0)+g(0)
f(0)=2g(0)
2f(0)=2g(0) (E
X=2X<=>X=0
g(0)=0
f(0)=0=h(0)+g(0) <=>h(0)=0

en faisant h(x)+g(x) avec la deuxiemme expression on voit que ca redonne f(x) ce qui prouve que h et g sont unique non?

remplacez mon i par un h
h(-x)=1/2 * (f(-x)-f(x))=-1/2 *(f(x)-f(-x))=-h(x)

C'était plein de petit "test" sur la fonction pas une demonstration à la base mais ca a aboutie ce que j'ai fais

"en faisant h(x)+g(x) avec la deuxiemme expression on voit que ca redonne f(x) ce qui prouve que h et g sont unique non?"

Qu'elles existent, pas qu'elles sont uniques

Et dans ce que j'ai fais ya quelquechose qui prouve qu'elles sont uniques ?

"f(x)=h(x)+g(x)

f(-x)=h(-x)+g(-x)
f(-x)=-h(x)+g(x)

f(x)+f(-x)=2g(x) <=> g(x)= 1/2*(f(x)+f(-x)) (E
f(x)-f(-x)=2h(x) <=> h(x)=1/2 * (f(x)-f(-x)) '

Quelqu'un aurait-il une équation fonctionnelle pas trop dur à proposer ?

f continue, f(x/2)=f(x)

pas intéressant les équations fonctionnelles

Je pose f(x) = x².sin(1/x) avec f(0) = 0
Etudier la dérivabilité/continuité de f et de f'

Morphisme les fonctions de R dans R ?

Oui de R dans R, genre tu connais autre chose