Les deux mots s'utilise en japonais.
Le premier : Katei ne signifie pas exactement "famille" mais plutôt maison/foyer/cocon familial. Uniquement les personnes qui vivent sous le même toit donc.
Exemple pioché sur une appli iphone :
"Kodomo no shôki no kyôiku ha fudan katei de hajimaru"
"L'éducation des enfants commencent généralement à la maison(dans le cocon familial)."
Le second : Kazoku signifie famille dans le sens Père/mère/frère/soeur.
(Je crois qu'il y a un autre mot pour dire "famille au sens large avec les cousins/Tantes/Oncles/Grands-parents/etc..." mais je l'ai oublié)
Les deux mots ne s'utilisent pas exactement de la même manière, on ne peut pas dans la majorité des cas remplacer l'un part l'autre dans une phrase.
Phrase d'exemple :
"Kokuô to sono kazoku ha ôkyû ni sundeiru."
"Le Roi et sa famille (femme, enfants, etc..) vivent dans le palais royal".
En ce qui concerne le chinois, beaucoup de mots ne s'écrivent pas de la même manière qu'en japonais. Certains mots s'écrivent pareil mais n'ont pas le même sens (exemple en japonais "Tegami" = Lettre, en chinois avec les mêmes kanji = Papier toilette).
Les deux pays ont eu des périodes de simplifications des kanjis dans leur histoire récente et ils n'ont pas simplifié les mêmes kanjis ni utilisé les mêmes méthodes pour simplifier les kanjis.
On va dire qu'au niveau de la simplification, les Kanji utilisé en Chine continentale pour le mandarin (où la simplification est la règle pour quasiment tous les kanji) et sont donc plus "simple" graphiquement, qu'au Japon, seule une partie des kanji a été simplifiée et de manière bien moins drastique qu'en Chine, et à Taiwan où ils ont gardé l'écriture non simplifiée donc bien plus compliquée graphiquement.
Après personnellement, je trouve trèèèès moche les kanjis simplifiés du mandarin moderne et je préfère largement les kanji japonais et taïwanais.