f(x) est définie sur IR*

lim(f(x))=0 car -1≤sin(X)≤1 et x^2 0
x 0-

lim(f(x))= 0
x 0+

j'ai peur de dire une betise aprés donc je me retiens je le pense dans ma tête juste

x -> 1/x est dérivable sur R*
x -> sin(x) est dérivable sur R
x-> x² est dérivable sur R

Donc par composition et par produit f est dérivable sur R* et pour tout x de R*: f'(x) = 2xsin(1/x) + -(x²cos(1/x))/x².

En 0 f(x)-f(0))/x =f(x)/x = x*sin(1/x). Or -x < ou = x*sin(1/x) < ou = x. D'après le théorème des gendarmes lim (x->0) x*sin(1/x) = 0. Donc f'(0)=0.

f dérivable en 0 donc f continue en 0.

C'est juste ?

pour montrer que c'est derivable en 0 je crois qu'il faut montrer que
quand x 0
(f(0)-f(x))/(-x)= (f(x)-f(0))/x
non ?

Diophantienne Voir le profil de Diophantienne
Posté le 18 juillet 2013 à 15:01:17 Avertir un administrateur
f(x) est définie sur IR*

non je l'ai définie sur lR

logical c'est bien et f' est continue?
sinon en prépa tu feras jamais ça :
-x < ou = x*sin(1/x) < ou = x. D'après le théorème des gendarmes lim (x->0) x*sin(1/x) = 0

Tu raisonnes plutôt de cette manière avec des valeurs absolues.

|x.sin(1/x)| <= |x| donc ça tend bien vers 0 quand x tend vers 0

fail il fut montrer que la dérivé à droite=dérivé à gauche quand les 2 tendent vers le point

"f : R -> R, continue sur R : f(x/2) = f(x)"

On montre par récurrence sur n que f(x/2^n) = f(x), pour tout n. Du coup, par caractérisation séquentielle de la continuité en 0 :

lim f(x/2^n) = f(lim x/2^n) = f(0) = lim f(x) = f(x)

Donc f est constante.

En fait, pas besoin de préciser f continue sur R, continue sur 0 (plus fort) suffit

Eaves tuas le droit se dire que si

f(x/2^n)=f(x)
alors
f(x/2^(n+1)=f(x/2)=f(x) enfin tu as le droit de modifié l'interieur de la fonction comme ça ?

car par exemple

sin(pi)=sin(0)

mais sin(pi/2)≠sin(0)

non j'ai rien dis il suffit juste de posé x=x/2

non je dis n'importe quoi là

La relation est supposée vraie pour tout réel, tu peux donc l'appliquer successivement à x, x/2, x/4,.. C'est ça que tu cherchais.

Faut arrêter avec les changements de variable à la con par contre et rentrer plus dans l'exercice

Pour le coup l'exo de Morphisme mieux vaut visualiser ce qui se passe, là c'est assez simple vu la relation f(x)=f(x/2), tu fais comme l'a dit Hachino, appliquer récursivement la division par 2. La continuité permet de conclure.

Un dragon a 100 têtes. Un chevalier peut couper exactement soit 15, soit 17, soit 20 ou 5 têtes en un seul coup d' ep ee. Il repousse alors respectivement 24, 2, 14 ou 17 nouvelles têtes. Si
toutes les têtes sont coup ées, le dragon meurt.

Peut-il mourir ?

Je ne sais pas si ça a été posté ici (si c'est le cas je m'en excuse) mais le lycée Louis le Grand a posté sur son site un document de 150 pages pour la transition Terminale S -> PCSI/MPSI http://www.louislegrand.org/images/stories/documents/EXOS-TERMINALE.pdf

But : montrer que si a1,a2,....,an et b1,b2,...,bn sont des réels strictement positifs et si 1/p + 1/q = 1 alors on a :

∑ai.bi ≤ (∑ai^p)^(1/p) * (∑bi^q)^(1/q)

1) Montrer que si x et y sont positifs alors xy ≤ x^p/p + y^q/q
2) Montrer l'inégalité de l'énoncé dans le cas où (∑ai^p)^(1/p) = (∑bi^q)^(1/q) = 1
3) Montrer le cas général

p et q dans N ?

C'est surprenant que tu poses cette question ptizap
Vous n'avez pas démontré ce résultat à LLG ?

Pour la 1). Alors, si on suppose p, q dans N (ça a l'air de marcher si la condition 1/p + 1/q = 1 est remplacée par u + v = 1 avec u et v des réels positifs, comme on montre l'inégalité dans le cas rationnel (1/p + 1/q = 1) il suffit ensuite d'utiliser le fait que tout réel es tlimite de rationnel, ça doit passer)

On dispose de l'inégalité suivante : (x1 + ... + xn/n >= (x1x2 ... xn)^(1/n)

Or q*x^p + p*y^q = (x^p + ... + x^p) + (y^q + ... + y^q) >= (p+q)*(x^(pq)* y^pq)^(1/(p+q))

Or p + q = pq, donc

q*x^p + p*y^q >= pq*(x^(pq)* y^pq)^(1/(pq))

Càd,

x^p/p + y^q/q >= xy

Dans le cas p q naturels, 1/p+1/q=1 => p=q=2 ou je délire ?

On dispose de l'inégalité suivante : (x1 + ... + xn/n >= (x1x2 ... xn)^(1/n)

j'ai pas lu la suite mais si on pouvait se passer d'utiliser des trucs sortis du chapeau