Soit n>2
Exo type suites implicites

1) Montrer que l'équation x^n + x^(n-1) - 1 = 0 admet une unique solution sur R+, que l'on appellera Un.
On définit donc de cette manière une suite (Un)n>2.

2) Montrer que (Un) est monotone, bornée donc convergente et donner sa limite L.

3) Montrer que Un^(n-1) converge vers 1/2

super-castor: Pour tout a, b de R+, on a (sqrt(a)-sqrt-b))^2 > ou = 0 donc a+b > ou = 2sqrt(ab) donc (a+b)/2 > ou = sqrt(ab).

Exact ! On pouvait partir comme tu l'as fait du développement de (sqrt(a)-sqrt-b))^2 ou bien de (a+b)^2 - (a-b)^2 on abouti au même résultat

1) En notant f : x -> x^n + x^(n-1) - 1, on a f continue et dérivable pour tout réel x > 0 et f'(x) = nx^(n-1) + (n-1)x^(n-2) qui est strictement positive pour tout x R+ et s'annule pour x=0. f est donc strictement croissante sur R+.
De plus comme f(0)=-1 et f(1)=2 et que f est continue, d'après le TVI f s'annule au moins une fois sur R+. f étant strictement monotone sur R+ elle s'annule donc une seule fois sur R+ pour x=Un.

f(1)=1*
Je fais la suite

D'accord super castor

Soit fn(un) ta fonction :

fn+1(un) = un^n+1 + un^n -1 = fn(un) + un^n+1 + un^n-1 avec un dans (O,1) exclus

Donc fn+1(un) > 0 , fn+1(un) > fn+1(un+1)

Donc, comme f est croissante, un > un+1 , un est décroissante.

Ça marche ?

Tes deja en prepa super castor....

Oui mais ça nous empêche de jouer ?

J'ai pas fini ma prépa, ça me permet de m'entrainer aussi ...

Moi j'ai fait:

Soit fk : x -> x^k + x^(k-1) - 1 avec k>2, la restriction de f sur [0;1]. La question 1) nous montre que pour tout k > 2, fk s'annule une seule fois et fk strictement croissante sur R+.
De plus on a pour tout k: fk(1) = 1 et fk(0)=-1. Donc abs(Un) < 1 et (Un) bornée.
Pour tout k et pour tout x de [0;1] on a: fk+1(x) < ou = fk(x). fk étant strictement croissante, on a donc Un+1 > Un donc (Un) croissante.
(en gros graphique la courbe de fk est au dessus de celle de fk+1 et comme elles sont strictement croissante, la courbe de fk va couper l'axe des abscisses avant celle de fk+1)

Mais j'ai dû faire une erreur car super castor a trouvé (un) décroissante !

Nan je pense que c croissant jai pas le corrige en tete jverrai apres

C'est moi qui ai tors... j'ai calculé u3 = 0,75 et u4 = 0,81...

Et je sais pourquoi, j'aurais jamais du tout appeler avec des n, j'me suis planté dans fn/un

Un est croissante, c'est logique.

3)Un^n+Un^(n-1)=1
lim Un^n=lim Un^(n-1)
==> lim Un^(n-1)=1/2.

D'accord j'essaie de continuer alors !

2) (Un) est bornée et croissante donc (Un) converge. Notons l sa limite.
On a Un+1^(n+1) + Un+1^n - 1 = Un^n + Un^(n-1) - 1. Par passage à la limite on a donc: l^(n+1) = l^(n-1) donc l = 0 ou l = 1 donc l=1 car (Un) est strictement positive et croissante.
(Un) converge donc vers 1

3) (Un^(n-1))n>2 bornée par 1 et décroissante donc (Un^(n-1))n>2 converge vers un limite que l'on note l.
Puis comme Tolcantor l'a fait Un^n+Un^(n-1)=1 donc 2l=1 donc l=1/2

Logical jaime pas du tout ton passage a la limite

Les résultats les plus évidents sont les plus difficile à démontrer.

Difficiles*

Ah oui je vois ce que tu veux dire, c'est pas du tout rigoureux avec les puissances que je n'ai pas fait tendre vers +oo

Pas mal castor mais si t as chié ta conclusion

Pour la limite de Un^n vpus mavez pas montre le principal : qu'elle existe