Y a bcp plus simple mais bon...

Une devinette:
Combien d entiers positifs n inférieurs ou égaux 1000 y a-t-il tels qu'ils ne puissent pas s' ecrire comme a^2-b^2-c^2 où a, b, c sont des entiers positifs ou nuls vérifiant a>= b+c

Théorème de bolzano weierstrass
--------------------------------------------

Soit (Un) une suite bornée telle que |Un| < M pour tout n avec M >0.

a0 = -M, b0 = M, c0 = 0 et n0 = 0
On pose V0 = Un0 = U0.

1) Montrer que [-M,0] ou [0,M] comporte une infinité de termes de la suite (Un).
Si [-M,0] comporte une infinité de termes, alors on posera
a1 = -M, b1 = 0, c1 = -M/2 et n1 = l'indice du premier terme de la suite (Un) qui appartient à [-M,0] tel que n1 > n0

(faites un dessin si les notations font peur )

Enfin on posera V1 = Un1.

2) Construire, par récurrence une sous suite (Vn) de (Un) qui converge.

Ainsi pour toute suite bornée de réels il existe une sous suite qui converge.

C'est un des théorèmes les plus important en analyse au fait

C'est pas bien de laisser bider ce topic !

iv sinon pour ton exo je trouve la question 1 plutôt étrange dans le sens qu'intuitivement c'est évident. Je tenterais ça:

Pour tout n, |Un| < M donc pour tout n: -M < Un < M. Tous les termes de (Un) (une infinité) appartiennent donc à l'intervalle [-M;M] donc [-M,0] ou [0,M] comporte une infinité de termes de la suite (Un) car [-M,0] U [0,M] = [-M;M].

Moi j'ai fait comme ça
On suppose qu'il y a un nombre limité de Un€ [-M‚0] et[0,M] alors à partir d'un certain rang m Un€/[0‚M] et à partir du rang p Un€/[-M‚0]
donc pour n> max(p‚n) Un n'appartient plus à aucun de ces deux intervalles. Contradiction donc au moins un des deux intervalles intervalles contient une infinité d'Un
€/ = n'appartient pas

Je sais pas si mon raisonnement est juste mais c'est vraie que comme logical l'a dit c'est évident

n>max(p‚m) * désolé

Ça me semble juste ce que t'as fait Eric !

écrire "n'appartient pas" ça serait genre 100 fois plus clair en fait

La question 1 est évidente mais c'est pour vous donner un point de repère pour la suite

2) Je tente ça:

En m'inspirant de ce que tu as fait pour V1:
On aura donc[a1;c1] qui contient une infinité de termes ou [c1;b1]. On choisit l'intervalle qui contient une infinité de terme et on posera V2 =Un2 avec n2 = l'indice du premier terme de la suite (Un) qui appartient à cette intervalle et n2 > n1.
Puis si c'était [a1;c1] qui contenait une infinité de termes on pose a2 = -M b2 = -M/2 et c2 = (a2+b2)/2 = -3M/4.
Puis on réitère le procéder.
(Vn) est donc une sous suite de (Un). Par construction (Vn) est décroissante (dans le cas où l'intervalle [an;cn]contient une infinité de termes) et minorée par -M. Donc (Vn) converge.

(Vn) n'est pas décroissante je pense pas...

En effet je me suis trompé ! *croissante et majorée par M
Ca marche ?

je pense pas que (Vn) ait un sens de variation

Donc j'ai mal construit ma suite (Vn) ? Instinctivement elle me semblait converger mais bon il faut que j'arrête de me fier à mon instinct

tu l'as pas mal construite y a encore quelques petites imperfections mais une suite n'est pas obligée d'être monotone pour converger

Pour la convergence je connais que ça + le théorème des suites adjacentes mais c'est pas utilisable car (Vn) n'est pas monotone.. peut-être en supposant par l'absurde qu'elle diverge alors

D'après la question 1, tu peux construire une suite de segments emboîtés qui contiennent une infinité de termes de (Un) chacun.

Avec l'indice d'hardphoenix et un petit dessin je pense avoir trouvé. J'ai essayé de rédiger ça plus ou moins rigoureusement.

Soit ([an;bn])n€N la suite définie telle que: a0 = -M, b0 = M et [an+1;bn+1] = [an;cn] s'il contient une infinité de termes de la suite ou sinon [cn,bn], avec cn = (an+bn)/2. On pose Vk = Unk (k€N) avec nk l'indice du premier terme de la suite (Un) qui appartient à [ak;bk]. On a ainsi nk > nk-1 > ... > n0 donc (Vn) est bien une sous suite de (Un).
(an)n€N est par construction croissante, (bn)n€N décroissante et lim(bn-an) = 0. (an) et (bn) sont donc adjacentes et ont pour limite commune un réel l € [an;bn].
De plus par construction on a Vn€[an;bn] donc an < ou = Vn < ou = bn. D'après le théorème des gendarmes (Vn) converge vers l.

Perfect

Applications :

Montrer qu'une fonction continue sur [0,1] est bornée

Montrer que si An et Bn sont 2 suites d'entiers positifs telles que An/Bn converge vers x irrationnel, alors An et Bn divergent vers +oo

Bah f est bornée par +oo et -OO