Supposons que si. On aurait (x;y) appartenant à Z² tel que x²+y²=2014
<=> x²+2xy+y²=2014+2xy
<=>(x+y)²=2(1007+xy)
on a alors (x+y)² pair donc (x+y) pair
2 cas :
1er cas : x pair et y pair. il existe donc (k;k') dans Z² tel que x=2k et y=2k'
(2k)²+(2k')²=2014
<=>4k²+4k'²=2014
<=>4(k²+k')=2014 impossible car 2014 pas divisible par 4. 1er cas absurde
2eme cas : x impair et y impair. on a donc (k;k') dans Z² tel que x=2k+1 et y=2k'+1
(2k+1)²+(2k'+1)²=2014
<=>4k²+4k+1+4k'²+4k'+1=2014
<=>4(k²+k+k'²+k') =2012
<=>k²+k'²+k+k'=503
<=> k²+2kk'+k'²+k+k'=503 + 2kk'
<=>(k+k')²+k+k'=503 + 2kk'
<=>(k+k')(k+k'+1)=503 + 2kk'
(k+k')(k+k'+1) étant le produit de deux entiers consécutifs doit être pair. Or 503 + 2kk' est impair. 2eme cas absurde
Donc 2014 ne peut pas être somme de deux carrés.