On note 0.9999... (avec les points de suspension) pour désigner un
"nombre" qui se termine par une infinité de 9.
Et donc, est-ce que 0.999... (avec une infinité de 9) est égal à 1 ?
OUI ! Voici 5 arguments pour vous en convaincre. Les 3 premiers n´ont
absolument aucune rigueur et ne peuvent pas être considérés comme des
démonstrations mathématiques, mais ils sont plus simples et plus
convaincants pour les gens qui n´ont pas forcément les connaissances
mathématiques nécessaires pour accepter les 2 autres.
a) On part de :
1/3 = 0,33333...
On multiplie par 3 des deux côtés :
3 * 1/3 = 3 * 0,33333...
Ce qui donne :
1 = 0,99999...
b) On pose x = 0,99999...
On multiplie par 10 des deux côtés : 10 * x = 9,99999...
On soustrait les deux expressions côté par côté :
10 * x - x = 9,99999... - 0,99999... = 9,00000...
Donc 9 * x = 9, c´est-à-dire x = 1, d´où 0,99999... = 1
c) Un argument très court se déduit du fait suivant :
"si 2 nombres réels sont différents, alors il en existe au moins un
3ème entre les deux, différent des deux autres".
(ce troisième nombre peut être la moyenne entre les deux)
Or, on ne peut pas intercaler de nombre entre 0,99999... et 1 ; ils
sont donc égaux.
Pour les arguments plus rigoureux, il faut commencer par définir
proprement ce qu´est 0,99999...
En écrivant 0,99999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... , on définit 0,9999...
comme une série géométrique (c´est-à-dire une somme dont chaque terme
est égal au précédent multiplié par une constante, ici 1/10 -
on dit que c´est une série géométrique de raison 1/10), et on écrit:
(inf. signifie "infini")
n
___
\ 9
0,99999... := lim ) ---
n->inf. /__ i
i=1 10
d) On peut facilement montrer que la somme des n premiers termes d´une
série géométrique de raison q et de premier terme a vaut :
n
1 - q
S = a * -------
n 1 - q
Cette somme tend vers une limite pour n tendant vers l´infini si et
seulement si q est strictement plus petit que 1, et cette limite est
alors :
a
S = -----
1 - q
Ici, a=0,9, q=1/10, ce qui est plus petit que 1, donc
0,9 10
S = -------- = 0,9 * -- = 1
1 - 1/10 9
Donc 0,99999...=1
e) L´argument le plus direct est de vérifier directement, à partir de
la définition de la limite, que 1 est la limite pour n tendant vers
l´infini de la série
n
___ 9
\ ---
S = /__ i
n i=1 10
Cela signifie qu´à condition de prendre suffisamment de termes dans
la série, on peut s´approcher d´aussi près de 1 que l´on veut
(c´est-à-dire rendre la différence | 1 - S_n | aussi petite que l´on
veut).
Mathématiquement, cette définition de limite s´écrit :
(eps signifiant "epsilon")
Quel que soit eps, il existe n_0 tel que pour tout n>n_0,
on a |1 - S_n | < eps
En calculant
¦ n ¦
¦ ___ 9 ¦ 1
¦ \ --- ¦ = -----
¦ 1 - /__ i ¦ n+1
¦ i=1 10 ¦ 10
on voit facilement que si n (nombre de termes) est suffisamment
grand, alors notre somme peut s´approcher d´aussi près que l´on veut
de 1, puisque leur différence, 1/(10^(n+1)) devient de plus en plus
petite quand n augmente.
Pour être plus précis, si on se donne eps, la différence maximale
que l´on s´autorise, alors il suffit de prendre:
(log représentant le logarithme en base 10)
n_0 > - log(eps) - 1
Si n > n_0, on aura alors :
¦ n ¦
¦ ___ 9 ¦ 1
¦ \ --- ¦ = ----- < eps
¦ 1 - /__ i ¦ n+1
¦ i=1 10 ¦ 10
la condition est respectée, donc la limite vaut 1, et 0,99999...=1
beaucoup 
exact 