Salut. J'aimerais que quelqu'un m'explique en termes simples le lien qui existe entre

cos(x) + isin(x)

et

e^{ix}

Je précise que je ne suis pas familier avec la notion de fonction hyperbolique qui semble avoir un lien avec la

L'égalité, tout simplement.

e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)

Shakey Voir le profil de Shakey
Posté le 14 août 2011 à 19:12:58 Avertir un administrateur
L'égalité, tout simplement.

e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)

D'où vient cette formule ?

C'est une définition.

Ouais 'fin, c'est pas défini au hasard non plus.

Ce que je veux dire, c'est pourquoi l'exponentielle ?

On s'est pas dit un jour : "tiens c'est pas mal, je vais poser exp(iz) = cos(z) + isin(z)"

Il y a bien une raison qui a poussé à introduire cette définition ?

D'où vient cette formule ?
Lien permanent
Prauron
Posté le 14 août 2011 à 19:19:31 C'est une définition.

Ca vient d'où ?
"c'est un axiome"
"c'est une défition"
"c'est trivial"

kikoo les maths

A votre avis, le sinus complexe est apparu avant ou après le sinus réel ?

Ben rigole si tu veux mais c'est vrai.

Il s'agit effectivement d'un axiome.

"Une théorie fondée sur un nombre infini d'axiomes contient toujours sa propre contradiction."

Gérard Klein

«Cannabis : parmi ceux qui n’ont jamais commencé, il n’y en a aucun qui a continué.»

Gérard Miller.

"Quand on a dit que l'anus de l'hyène sent mauvais, on a tout dit. En rajouter n'apporte rien."

Ahmadou Kourouma

Cela se démontre par un passage aux séries entières.

Look : http://www.youtube.com/watch?v=zELiwFCQa1Y

Plus serieusement.
Soit f:IR->IC
x->cos(x)+i*sin(x)

f'(x)=-sin(x)+i*cos(x)
=i*f(x)

On peut déjà voir l'analogie avec l'exponentielle classique: Pour tout a réel, la dérivée de x:-> exp(ax)=a*exp(ax).

Ceci légitime déjà l'écriture e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)

Cela peut aussi se voir avec les développement en série:
On a e^(x)=1 + x + x^2 /2! + x^3 / 3! + x^4 / 4! + ...
cos(x)=1 - x^2 / 2! + x^4 / 4! - x^6 / 6! + ....
sin(x)=x - x^3 / 3! + x^5 / 5! + ...

En remplaçant x par ix dans le développement de e^x, on retrouve après séparation des parties réelles et imaginaires: e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)

Donc, comme l'a dit Prauron, c'est bien une définition. Pas besoin d'en rire, c'est vrai. Et ça n'a rien à voir avec un axiome.
Cela n'empêche pas qu'il y ait une certaine cohérence dans cette définition.

"je ne suis pas familier avec la notion de fonction hyperbolique"

Je ne sais pas s'il est familier avec la notion de série entière...

Bah, il peut toujours chercher un peu en ce qui concerne les séries. Enfin, je veux dire, ce qui lui suffirait pour comprendre la démo.

Non mais d'accord, tu définis exp(ix) comme la somme des (ix)^k/k!, et après tu poses cos(x) = (exp(ix) + exp(-ix))/2, sin(x) = (exp(ix) - exp(-ix))/2i.

Mais un terminale tu vas pas lui dire ça. Tu vas lui dire : on note e^(ix) la quantité cos(x) + i*sin(x), et tu vas lui expliquer pourquoi cette notation est cohérente (exp(i(x+y)) = exp(ix)exp(iy)...etc).

Perso, je n'ai compris ça qu'avec les séries. o.O
M'enfin, je verrai comment notre prof nous expliquera ça cette année.