Un pote à moi a trouvé une bonne méthode :
On considère la fonction :
f : D_f -> C ; x -> e^(ix)/(cos(x)+i*sin(x))
On montre que f'(x) = 0. Ce qui implique que f(x) = c, quelque soit x. Et donc : f(x) = 1, puisque f(0) = 1.

x |-> exp(ix)/(cos(x)+i*sin(x)) *

"On montre que f'(x) = 0. "

Comment?

Non mais tout le problème est de donner un sens à exp(ix).

c'est la preuve de l'existence de Dieu selon Euler

enfin ce qu'il en a déduit de ceci *

Yagaku ta méthode marche pas, car si tu n'as pas donné de sens à x -> exp(ix) tu peux pas la dériver.
A moins de lui donner un sens à l'avance, de dériver, et de dire "tiens ça marche donc le sens que je lui ai donné est bon"

Raisonnement de chimiste

Ce n'est pas ma méthode, mais celle d'un ami. Si je le revois, je lui demande sa démo complète, et sinon, je lui ferai parvenir vos remarques.
Moi, je n'ai pas réussi à démontrer le truc, mais j'ai compris la démo avec les séries entières, et ça me suffit.

Ton truc marche si tu supposes que tu peux dériver une éventuelle exponentielle complexe.
Donc c'est pas une vraie démo, mais pour sentir la chose pourquoi pas...

AspieCommander: des maths, il n'y en a quasiment pas avant le supérieur. Avant, c'est essentiellement du calcul qu'on fait.

Yagaku: c'est pas si trivial que la dérivée de e^(ix) soit i.e^(ix) en vrai. La seule façon propre que je vois (j'ai pas non plus réfléchi longtemps à la question), c'est d'utiliser le théorème d'inversion somme-dérivation. De plus, ta fonction est à valeur dans C, donc ça demande de définir au préalable ce que veut dire "dériver f:R -> C" (ça ne pose pas de problèmes particuliers, mais encore faut-il le remarquer).

Je pense que mon ami qui a pensé à cette démo a du penser à ça. Son niveau est largement supérieur au mien. Mais bon, je ne sais pas. Comme je vous l'ai dit, j'attends de lui redemander, et je verrai sa réponse.

Le truc c'est que pour justifier la dérivation, faut utiliser les séries (et le théorème de dérivation terme à terme c'est pas non plus une évidence). Mais si t'utilises les séries, t'as pas besoin de la dérivation pour justifier l'égalité (c'est même une façon de définir sinus et cosinus...).

Prauron: ho si, c'est une évidence ce théorème. Mais il arrive toujours un moment où on conclut un truc faux avec.

Ba oui c'est une évidence, ça vient du fait que la dérivation est linéaire.
OSEF de l'infini

Ça y est, ça part en école d'ingé, et ça oublie comment faire des maths proprement.

Le mec a dit que c'est dérivable sur C en prouvant que (exp(ix)-exp(ix_0))/(x-x_0) a une limite quand x -> x_0.

Ce qui ne va pas être évident à faire, étant donné qu'on ne sait a priori pas ce que peut bien représenter exp(ix).

Une évidence, ça dépend pour qui, moi je trouve pas ses hypothèses si intuitives que ça, et je suppose qu'un terminale non plus.

En terminale, l'évidence c'est "ça ressemble à un truc que je connais, donc ça doit marcher pareil"

Yagaku On en revient donc à ce qu'on disait. Tu essaies de prouver que l'exponentielle complexe marche comme l'exponentielle réelle, donc tu ne peux pas montrer que le taux d'accroissement existe vu qu'a priori tu ne sais pas ce que représente ton exp complexe.

Prauron : Intuitives, j'irai pas jusque là, mais une fois qu'on a vu passer N fois l'hypothèse d'uniformité, ça paraît naturel.