Merci pour la vidéo Yagaku c'est super explicite ( à condition de connaître vite fait les développements limités et les séries )...

"Je ne sais pas s'il est familier avec la notion de série entière "

Oui! Je les ai vu! Seulement, je ne saurais pas comment intégrer les nombres complexes dans les séries entières. Je vais regarder la vidéos et voir ce que je peux en comprendre.

C'est juste la somme des termes d'une suite.

Dans la vidéo c'est très clair Il part de l'expression de e^x, puis il rajoute juste e^ix et tout découle tout seul !

"Seulement, je ne saurais pas comment intégrer les nombres complexes dans les séries entières."

C'est pareil ! Pour tout z complexe on a exp(z) = somme des z^k/k!.

Merci!

En terminale, mon prof nous a dit qu'on notait: cosx + isinx = exp(ix) car on avait, à travers l'écriture "cosx + isinx" les même propriétés que pour l'exponentielle. Donc l'écriture exponentielle permettait de simplifier, tout en gardant une utilisation "normale" de l'exponentielle.

Ensuite, avec les séries, j'ai aussi vu qu'on démontrait que:
exp(x) = Série( x^n / n!) pour tout x complexe.
Et que pour tout x réel, on avait Série( (ix)^n / n! ) = cosx + isinx.

Donc à mon avis, au delà de la simple définition, si on écrit exp(ix) = cosx + isinx, c'est surtout parce-que c'est vrai.

Tu as raison South mais tout dépend à qui l'on s'adresse. Quelqu'un qui découvre les nombres complexes n'a pas les moyens de définir proprement l'exponentielle d'un nombre complexe, alors on lui présente l'égalité e^(ix) = cos(x) + isin(x) comme une simple notation, toutefois cohérente avec les propriétés de l'exponentielle réelle.

Mais effectivement, la "vraie" définition, c'est celle qui utilise la série entière.

Oui bien sûr, balancer le développement en série entière de l'exponentielle à des élèves de terminale, à part les traumatiser ça leur apporterait rien

On nous disait pareil au lycée, mais perso j'ai trouvé ça bizarre quoi, on nous balance une relation en nous disant que c'est comme ça on connaissait pas les séries etc mais bon ça inspire la curiosité de savoir pourquoi

"En terminale, mon prof nous a dit qu'on notait: cosx + isinx = exp(ix) car on avait, à travers l'écriture "cosx + isinx" les même propriétés que pour l'exponentielle."

C'est ce que mon prof m'avait dit également, mais il n'était pas aller plus loin.

D'un autre coté, si on nous expliquait tous les théorèmes qu'on nous montre sur le moment, on aurait du mal à en venir à bout.

Ben c'est ce qu'on fait en prépa (à part un théorème par ci par là qu'on admet ).
Mais en terminale on est trop noob pour ça.

Norwood-1er : Le plus simple pour se convaincre de l'égalité mentionnée dans la première réponse, c'est encore la preuve par le dessin :
Tu te places dans le plan complexe.
Tu traces ton cercle unité et tu choisis un angle t.
Tu places le point M d'affixe e^(it).
Et tu constates que les coordonnées de ce points sont (cos(t), sin(t)) par définition (celle que toi tu as) des fonctions cos et sin.
Moralité, ton point M a aussi l'affixe cos(t) + i.sin(t).
Donc e^(it) = cos(t) + i.sin(t).

Mouais...
Mais là on admet que le point d'affixe e^(it) est situé sur le cercle trigo à l'angle t; ce qui revient à admettre e^(it)=cost + i*sint

Ouais...enfin je pense que définir en premier la notation z=re^(it)pour un nombre complexe est plus intuitif que d'y arriver avec la formule e^(it)=cost + i*sint

Shakey: de fait, sans connaissances correctes sur les séries complexes, je ne vois pas comment on peut prouver formellement (Coq, toussa) ladite formule.

Mon but n'était d'ailleurs pas tant de donner une preuve béton, mais plus une vision graphique des choses qui pourra aider l'OP à comprendre/retenir la formule.

Oui, j'avais bien compris

Simplement je ne trouve pas ça très "habile" puisqu'on sort quand même quelque chose de nulle part (le placement du point d'affixe e^(it) ). Enfin perso ça ne m'aurait pas vraiment convaincu, je pense.

Je préfère le fait de voir que la fonction f:t->cos(t)+i*sin(t) à les mêmes propriétés que l'exponentielle: f(a)*f(b)=f(a+b), etc... et f '(t)=i*f(t)

Bah, en terminal S on te dit « re^(it) = sors ton compas et ton rapporteur et place le point M à la distance r de l'origine et tel que l'angle MOx vaille t ». À ce niveau là, il n'y a rien de choquant dans la mesure où toutes les définitions sorties du chapeau se tiennent entre elles.

La vraie blague dans l'histoire, c'est quand un élève n'accepte pas l'affirmation qui dit que le « e » du « re^(it) » et le même que le e(xp) solution de l'ED f' = f, f(0) = 1. C'est à ce moment là qu'il faut invoquer les séries pour se tirer d'affaire.

(<tab> à la noix, je vais vraiment à une extension de firefox de rajouter un bouton pipeau entre la zone de message et le bouton poster si ça continue ( )

Après, moi je ne suis pas convaincu par le « f(a)*f(b)=f(a+b) ». Typiquement, la fonction nulle vérifie cette propriété. Et je pense qu'au niveau TS (surtout avec la façon de faire es maths au lycée), c'est impossible d'avoir une bonne intuition sur l'ensemble des solutions de cette équation fonctionnelle. Donc, certes, tu as une analogie… mais c'est dur de creuser plus loin.

Je trouve ça dommage que les profs de lycée présentent ça comme une convention ou une notation. Certes ils ne peuvent pas faire la démonstration avec les séries, mais bon... Après des élèves se mettent à croire que les mathématiques ne sont que des formules sorties du chapeau, alors que justement une formule comme le e^i*Pi + 1 = 0 montre au contraire la beauté des mathématiques...