Hey

j'ai cet exercice

Soit Eun espace vectoriel, et H un sous-espace vectoriel de E. Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes

(i) Il existe v ∈ E vecteur non nul tel que E = Kv ⊕ H
(ii) E ≠ H et pour tout v ∈ E \ H, E = Kv ⊕ H,

Des indications svp ?
Comment trouvez-vous cet exercice niveau difficulté?

Euh c'est pas très difficile, mais ça dépend vraiment de quand t'as vu les EV. Genre si ça fait 2 semaines que t'as vu les EV c'est plutot dur, mais si t'es censé bien maitriser la notion, c'est pas très dur.

sinon (ii) => (i) c'est trivial, du coup il te reste l'autre sens, pense à la dimension

on vient de les voir donc c'est tout nouveau pour nous

sinon (ii) => (i) c'est trivial, du coup il te reste l'autre sens, pense à la dimension

mouais trivial le ii => i ?

je prends un vecteur v ∈ E \ H tq E = Kv ⊕ H

donc (i) ?

Tu peux voir la somme directe comme le recollement de deux espaces vectoriels indépendants.

Si E = Kv ⊕ H avec v non nul, ça veut dire que l'on a adjoint à H une droite vectorielle dirigée par v http://sketchtoy.com/69524635
Vois-tu pourquoi E est différent de H? et pourquoi v n'appartient pas à H?

Tu parles de i => ii là ?

Oui

On peut réécrire le (i) comme ça :

Il existe u ∈ E vecteur non nul tel que E = Vect {u} ⊕ H

Vois-tu pourquoi E est différent de H? et pourquoi v n'appartient pas à H?

ouais approximativement

oui E est différent de H car H est inclus dans E sans être égal à lui

On peut réécrire le (i) comme ça :

Il existe u ∈ E vecteur non nul tel que E = Vect {u} ⊕ H

Oui, Kv et vect{v} désignent la même chose.

oui E est différent de H car H est inclus dans E sans être égal à lui

Pourquoi l'inclusion est stricte? Montre-moi que v n'appartient pas à H.

parce que E = Kv ⊕ H

donc Kv et H sont en somme directe donc leur seul élément commun est le vecteur nul,
or on a pris v non nul

Voilà, tu as montré i => ii.

ah bon ?

Tu as H distinct de E car le v du i n'appartient pas à H.
Si maintenant tu prends u dans E\H quelconque. En décomposant u en k.v + h avec un certain k scalaire et h dans H, peux-tu montrer que E = Ku ⊕ H ?

eh bien

kv appartient à Ku et h appartient à H

c'est ça?

Pas forcément, on peut avoir un truc comme ça http://sketchtoy.com/69525115

faut faire comment alors ?