akv = -ah car x apparient à H ?

Ok... par hypothèse E = Kv ⊕ H ce qui signifie que E = Kv + H (1) et Kv ∩ H = {0} (2).

On prend x dans Ku ∩ H et on veut montrer que x = 0.
Comme x appartient à Ku il existe un a dans K tel que x = au.
Ensuite d'après (1) on a u = kv + h avec k dans K, h dans H.
Ainsi x = akv + ah, soit akv = x - ah ∈Kv ∩ H.

D'après (2) on a akv = 0 donc ... car v est non nul.
Or u n'appartient pas à H par hypothèse, donc k ... puis a = ... et finalement x = 0.

Tu complètes les trous?

allez je vais me pendre à demain

on a akv = 0 donc ak=0 car v est non nul.

Le 25 mars 2021 à 00:49:06 ChoquantMeme a écrit :
on a akv = 0 donc ak=0 car v est non nul.

Yes

ouais fin là j'ai rien fait de ouf

C'est déjà mieux que de baisser les bras.

donc k = 0 puis a=0 puis x=0 ?

mais pourquoi k = 0 ?

Ben si on avait k=0, on aurait u = h ∈H... sauf que u ∈E\H.
Maintenant peux-tu montrer que E = Ku + H?

edit: on a k =/= 0 par contre
edit 2: on reviendra dessus demain.

donc k !=0 donc a=0 puis x=0

?

Oui, cela par intégrité d'un corps (un produit y est nul ssi l'un des facteurs est nul).

Ok

Ensuite d'après (1) on a u = kv + h avec k dans K, h dans H.

pourquoi ?

On se mélange pas un peu les pinceaux avec u et v ?

Le 25 mars 2021 à 00:37:29 DonDoritos20 a écrit :
Ok... par hypothèse E = Kv ⊕ H ce qui signifie que E = Kv + H (1) et Kv ∩ H = {0} (2).

On prend x dans Ku ∩ H et on veut montrer que x = 0.
Comme x appartient à Ku il existe un a dans K tel que x = au.
Ensuite d'après (1) on a u = kv + h avec k dans K, h dans H.
Ainsi x = akv + ah, soit akv = x - ah ∈Kv ∩ H.

D'après (2) on a akv = 0 donc ... car v est non nul.
Or u n'appartient pas à H par hypothèse, donc k ... puis a = ... et finalement x = 0.

Tu complètes les trous?

D'après (2) on a akv = 0 donc ak=0 car v est non nul.
Or u n'appartient pas à H par hypothèse, donc k!=0 puis a = 0 et finalement x = 0.

Ouais on se mélange pas les pinceaux entre u et v ?

On peut changer les notations si ça t'embrouille, y'a pas de soucis.
Maintenant, on repart sur de nouvelles bases avec ces notations

(i) Il existe u ∈ E vecteur non nul tel que E = vect(u) ⊕ H
(ii) E ≠ H et pour tout v ∈ E \ H, E = vect(v) ⊕ H

On suppose qu'il existe un vecteur u non nul tel que E = vect(u) ⊕ H.

http://sketchtoy.com/69527221

a) Tu peux montrer que u n'appartient pas à H, donc E ≠ H [ ✓ ]

Soit v ∈ E \ H.

http://sketchtoy.com/69527227

b) Montre-moi que vect(v) ∩ H = {0}
c) Montre-moi que E = vect(v) + H

D'où E = vect(v) ⊕ H.

a) E = Kv ⊕ H

donc Kv et H sont en somme directe donc leur seul élément commun est le vecteur nul,
or on a pris v non nul

(je re-réponds pour qu'on ait tout)

b)

soit x ∈ vect(v) ∩ H

comme x vect(v), il existe a scalaire tq x=av

soit u un élément de E.

alors u s'écrit

u = kv + h, avec k scalaire et h ∈ H