Bon si E = Kv ⊕ H (avec v non nul) et u n'appartient pas à H.
Comment montrerais-tu que E = Ku ⊕ H?

Ku inter H = {0}

D'accord c'est une des choses à établir, vas-y.

je bloque

Soit x dans Ku ∩ H. On peut décomposer de manière unique u = k.v + h avec k scalaire et h dans H donc...

beh euh

Que peux-tu dire sur x? Il est de quelle forme?

putain ça m'énerve je pige rien

j'ai vraiment l'impression d'être nul et impuissant là

http://sketchtoy.com/69526490

Comme x appartient à la droite engendrée par u, il est de la forme x = au où a est un certain scalaire.
Mais u = kv + h donc x = akv + ah, or x appartient à H et la décomposition d'un élément de E en "élément de Kv + élément de H" est unique, donc...

edit: ou si tu préfères, akv = x - ah appartient à Kv ∩ H donc...

je comprends encore moins avec ton dessin

vas-y mec je regarde ça demain en espérant que la nuit m'aide à comprendre
merci pour ton aide en tout cas

En gros si tu translates x par un élément de H bien choisi, tu obtiens un élément de Kv et si x est non nul, ça pose problème car Kv et H eux sont en somme directe.

toi aussi la première fois que t'as vu les EV t'as eu un peu de mal, rassure-moi ?

Oups j'ai supprimé mon message à cause du trackpad.

Oui bien sûr parce que c'était abstrait au début, mais en fait l'algèbre linéaire c'est très naturel tu verras.

Je pense que pour mieux comprendre faut que je définisse bien les choses dont j'ai besoin pour montrer ça

E = Ku ⊕ H

signifie que

Ku ∩ H = {0}
et que Ku et H sont supplémentaires dans E

right ?

bon après...

oui j'imagine bien qu'il faut arriver à montrer que x est le vecteur nul

et que Ku et H sont supplémentaires dans E

leur somme fait E plutôt (supplémentaires veut dire que leur somme fait E et est directe).

On déroule les hypothèses:

x appartient à H
x appartient à Ku donc il s'écrit x = au
u appartient à E, qui est la somme de Kv et H, donc u = kv + h avec h dans H

On en déduit que x = akv + ah ou encore akv = x - ah qui est un élément de H, car on a supposé que x appartenait aussi à H, donc akv = ... car ...