Bonsoir !

J'ai un petit problème avec un exercice qui n'avait pourtant pas l'air de poser de problème.

On me donne une fonction fn(x) définie de la sorte :

fn(x)=1 si -1 < x < 0.
fn(x)=1-nx si 0 < x < 1/n.
fn(x)=0 si 1/n < x < 1.

(Les inégalités ne sont pas strictes !).

On me demande dans un premier temps de montrer que cette suite est de Cauchy dans l'espace vectoriel normé (C[-1,1]) muni de la norme 1 et dans un second temps il faut montrer que cette suite converge dans l'espace F([-1,1]) muni de la norme 1 vers une fonction qui n'appartient pas à C([-1,1]).

Merci de votre aide !

La norme 1 pour ton espace c'est l'intégrale de -1 à 1 de ta fonction.
Une suite (Un) est dite de Cauchy si pour tout E>0, il existe N entier naturel tel que pour tout p>N,q>N, ||Up-Uq||<E.

Pour montrer que ta suite est bien de Cauchy, tu regardes ce que vaut la fonction |fp-fq|, tu calcules son intégrale sur [-1,1] puis tu fais tendre p et q vers l'infini et il faut cette limite tende vers 0.

Pour démontrer la suite, il faut déjà que tu calcules la fonction vers laquelle fn tend.
Pour cela, tu prends ta définition de fn et tu fais tendre n vers l'infini.
Tu vas t'apercevoir que cette fonction n'est pas continue, il ne te reste plus qu'à le rédiger proprement et puisque C([-1,1]) est l'ensemble des fonctions continues sur (-1,1]...

En l'infini la fonction fn tend vers 1/n (c'est l'énoncé).
Cependant je ne vois pas pourquoi il faut utiliser la définition de la norme pour montrer qu'elle est de Cauchy.
Il faut utiliser la norme 1 seulement pour la seconde partie de la question, pour montrer que l'espace n'est pas complet.

Je n'arrive pas à visualiser ce qu'est fp et fq.

Je dirais que |f(n+p)-f(n)|<1/n qui tend vers 0 en l'infini.
Donc il existe N appartenant à N tel que pour tout n>N, 1/n < e donc |f(n+p)-f(n)| < e.

Mais je ne sais pas si c'est rigoureusement rédigé.

Non, la fonction tend vers la fonction qui vaut 1 si x négatif et 0 sur [0,1].

La norme intervient dans la définition d'une suite de Cauchy. Un espace vectoriel normé peut être complet pour une norme mais pas pour une autre. Donc tu dois obligatoirement faire intervenir la définition de ta norme à un moment ou un autre.

Montrer qu'un espace est complet, c'est montrer que tout suite de Cauchy est convergente. Or, là tu as l'exemple d'une suite de fonctions continues qui converge (simplement) vers une fonction qui n'est pas continue. Pourtant, cette suite de fonction est bien de Cauchy pour ta norme. (c'est ce que tu dois d'ailleurs démontrer)
La norme 1 pour ton espace, sa définition, c'est intégrale de -1 à 1 de la valeur absolue de la fonction.

fp et fq sont deux termes de ta suite de fonction. Il faut bien comprendre qu'une suite de Cauchy, c'est une suite dont les termes sont de plus en plus proches.
On généralise ça avec la définition que j'ai donné :

Une suite (Un) est dite de Cauchy si pour tout E>0, il existe N entier naturel tel que pour tout p>N,q>N, ||Up-Uq||<E.

Pour montrer que ta suite est de Cauchy, tu te fixes deux fonctions au rang p et q (soient fp et fq). Le mieux, c'est d'écrire, comme tu l'as fait, p+n=q
Donc, ça revient à effectivement faire |f(n+p)-f(n)|.
Il ne te reste plus qu'à calculer cette norme puis faire tendre n vers l'infini.

Donc si j'ai bien compris j'ai l'intégrale de -1 à 1 de |fq-fn| qui est inférieure à l'intégrale de 0 à 1 de |fq-fn| qui elle même temps vers 0 lorsque n tend vers l'infini ?

Non, tu as mal compris.

Tu calcules |f(n+p)-f(n)| et tu fais tendre n vers l'infini.
Si c'est de Cauchy, ça tend vers 0

C'est donc comme j'avais fait précédemment, |f(n+p)-f(n)|<1/n qui tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini, sans passer par les intégrales.

Je ne vois pas ce que ça peut être à part ça...

Oui d'accord, j'avais mal lu. Par contre, je sais pas si tu l'as fait, mais il faut que tu justifies cette majoration, d'ailleurs, je ne suis pas sûr qu'elle soit juste.

Ah, si toi même tu n'en es pas sûr alors je doute de mon résultat !

http://sketchtoy.com/59167218

Non mais il se peut que ce soit juste, je dis pas le contraire.
(d'ailleurs après vérif ça l'est)

J'ai pas compris le 1/2n à la fin morphisme.

http://sketchtoy.com/59167436

Ha oui ok, en fait j'ai zappé le passage ou tu dis que c'est plus petit que int |fn(x)|, parce que la majoration par 1/n est directe quand tu écris la différence fn+p- fn

(enfin ta méthode est aussi directe hein, je dis pas ça )

Il suffisait de faire un dessin, quel imbécile je suis !
Du coup je n'ai plus qu'a rédiger pour cette première question.

Toujours faire un dessin. Du coup j'ai même pas vu le truc de morphisme à cause de ça.

Du coup la démonstration pour montrer que la suite est de Cauchy est similaire à celle qu'il faut faire pour montrer que l'espace vectoriel n'est pas complet ?

Ton espace vectoriel, c'est l'espace des fonctions continues sur [-1,1].
Or, si tu fais tendre n vers l'infini dans fn(x), tu trouver une fonction pas continue.
Tu as donc une suite de Cauchy qui ne converge pas (sous entendu dans l'espace des fonctions continues sur [-1,1]), donc cet espace n'est pas complet pour la norme 1.