Bonsoir, voilà je galère à un exercice :

Soit E un espace vectoriel normé. Soit F un sous-espace vectoriel fermé de E et G un sous-espace vectoriel de dimension finie de E. Montrer que F+G est un sous-espace vectoriel fermé de E.

J'y arrive pas

Que dire d'un sev de dimension finie dans un Banach ?

Il est complet

Et que dire d'un complet dans un complet ?

Il est fermé

Que dire de la somme de deux fermés ?

C'toi que je vais ouvrir, viens donc par ici mon enfant.

Euh je sais pas si on peut dire que c'est fermé

C'est justement ce qu'il te reste à montrer.

Comment on montre usuellement qu'un ensemble est fermé ?

Si c'est fermé c'est que toute suite convergente à valeur dans cet espace, converge vers un élément de cet espace.

Donc faudrait que je prenne une suite qui converge dans la somme.

Exactement. Bon, bah tout est dit, t'as plus qu'à l'écrire.

Bon bah j'appelle u(n) la suite de limite l.
Donc il existe (f(n), g(n) qui vérifient u(n) = f(n)+g(n)

Mais ensuite ? je dois construire la suite ? Mais comment ?

Bien entendu (f(n), g(n) ) appartiennent à FxG

De façon générale la somme de sev fermés n'est pas fermée, il va falloir te servir du fait que G est de dimension finie.

Rien ne dit que E est un Banach

En-dehors des Banach, point de salut en analyse. Fifi a juste dû l'oublier dans son énoncé.

Pourquoi ça serait un Banach ?

Ah nan, l'énoncé est exactement celui-ci.
Mais de toute manière E est un espace vectoriel normé de dimension fini, donc il est forcément un espace de Banach

Ah oui pardon, ça marche sans, mea culpa.

Euh, si E est de dimension finie, l'énoncé n'a aucun intérêt.