tu montres le résultat en dimension 1 puis en dimension n avec la norme infinie + récurrence puis équivalence des normes

Riesz te donne "locale compacité" => "dimension finie", la réciproque étant plus facile et reposant bêtement sur l'équivalence des normes.

C'est BW...

Euh bah pour n > n0 j'ai posé x(n) = f(n) / ||g(n)|| (appartenant à F) et j'ai posé aussi y(n) = g(n)/||g(n) apaprtenant à G.

Donc la suite x(n) + y(n) converge vers 0.

Donc on sait que G est fermé borné donc compact et on sait aussi que y(n) est à terme dans la sphère unité de G.
Donc on peut dire qu'il existe y appartenant à G avec ||y|| = 1 et donc il existe une suite extraite y(phi(k)) qui converge vers y.

Mais alors x(phi(k)) bah converge vers -y ( ) et donc -y appartient à F et donc y appartient à F inter G = {0}, et c'pas trop trop possible vu que ||y|| = 1

aussi xD

ahlala il se fait tard, et je bosse sur completement autre chose la (extension de corps...) ... (et dans mes cours d'analyse j'ai bossé il y a pas longtemps sur Riesz, operateur compacts, quasi inversible a gauche etc ... th spectral, hilbert ... bref de la topo comme on les aime ...) donc comme j'utilisais qqfois riesz donc je l'avais bien en tete xD)

G est borné ?

Ah les extensions de corps, bon courage.

La démo est bonne, faut juste faire gaffe à pas dire qu'un sous-espace est borné, ça la fout très mal. Une droite n'est pas bornée, retiens bien ça.

Bon bah une fois que tu as la bornitude de g(n), c'est gagné.

G n'est pas forcément borné ... et meme si il etait ... E peut etre de dimension infinie donc il n'est pas forcément compact

les extensions de corps c'est assez puissant ^^ enfin c'est le genre d'algebre que j'aime bien

T'enchaînes avec Galois après ? Master, vues les matières ?

J'ai rien compris à la démo.

Analyse-synthèse forever

Galois
non helas, enfin ... un tout petit peu
(oui je fais master I) je prepare l'agreg et je vais surement me diriger vers une these
apres galois ca sera plus un boulot perso, parce que je me vois mal faire ma these la dessus (je pense pas qu'un référent pourrait me proposer ca ... mais si il y a je prendrais)

Faut la remettre un petit peu en forme, mais c'est bon.

On écrit Un = Fn + Gn € F+G. On a par hypothèse Un -> l € E, F n G = {0} et on suppose par l'absurde que ||Gn|| n'est pas bornée, ie, quitte à extraire, que ||Gn|| -> +inf.

On a, en divisant par ||Gn|| : Un/||Gn|| = Fn/||Gn|| + Gn/||Gn||.

Le premier terme tend vers 0, le dernier converge vers un vecteur unitaire quitte à extraire, donc le terme Fn/||Gn|| converge aussi, vers un élément de F par fermeture. Donc la limite commune est unitaire et dans F n G : absurde.

Pourquoi F inter G = {0} ?

Pour simplifier, on l'a supposé. On peut toujours s'y ramener ça va juste enlever de la dimension à G.

C'est fou mais sachant que moi je ne suis qu'en MPSI et les quelques exercices que l'on fait sur les applications me rendent fout, quand je vois vos exos, je crois que je vais m'acheter ne corde pour les prochaines années

J'avais supposé la somme F+G directe !

Ah ouais... Y'a pas plus simple ?

Ben dans tous les cas, t'es obligé d'aller chercher de la compacité locale, c'est bien pour ça que dimG < +inf.