tout le monde, j´aurais besoin de votre aide pour cet exo sur les suites, d´habitude je trouve les suites faciles mais la je bloque

a et b sont deux réels tel que 0<a<b. Les suites (Un) et (Vn) sont définies par Uo= a, Vo=b et pour tout entier n:

U(n+1)= racine de (UnVn)
V(n+1)= (Un+vn)/2

(note: U(n+1) est la moyennes géométrique et V(n+1) la moyenne arithmétique de Un et Vn)

(je ne comprend pas cette note)

1) Prouver que, pour tout n, Un et Vn sont strictement positifs

(Récurence?)

2) Prouvez que pour tout n Un =< Vn

(Récurence?)

3) Démontre que pour tout n V(n+1)- U(n+1)=< (vn-un)/2

Voila je bloque j´espère que vous pourriez m´aidez ou tout au moins m´indiquer la bonne démarche a suivre!

1) Prouver que, pour tout n, Un et Vn sont strictement positifs

(Récurence?)

=> ben oui et c´est pas bien dur si tu essayais de le faire (la racine d´un nombre str positif est str positif et la somme des deux nombres positifs est positive), le reste est peut-etre moins facile mais ca c´était pas dur

ok en fait il faut que je fasse 2 récurence?
Un+1 pour Un
et Vn+1 pour vn?
mais par contre il faut que sa soit strictement positif donc si un ou vn dans la racine est égale a 0 racine de 0=0....

bon je te le fais:
initialisation: U0=a>0 V0=b>0
hérédité: soit n dans N, on suppose que Un>0 et Vn>0
Un+1=racine(Un*Vn)
comme Un > 0, Vn > 0 donc UnVn>0 et sa racine est >0 donc Un+1>0
Vn+1=(Un+Vn)/2
Un > 0 et Vn > 0 donc Un+Vn > 0 et (Un+Vn)/2 > 0 donc Vn+1>0

et c´est fini

quant a : (note: U(n+1) est la moyennes géométrique et V(n+1) la moyenne arithmétique de Un et Vn)
c´est une simple appelation
Mg=racine(a*b) est la moyenne géométrique de a et b
Ma=(a+b)/2 est la moyenne arithmétique de a et b

ok merci picto j´arrivais pas à mener deux trucs en meêm temps dans la récurence sinn pour Un =< Vn tu pense que je devrais passer par une récurennes Un+1 - vn+1 )=< 0?

possible mais ca risque d´etre moins évident, je regarderai plus tard si tu bloques

peut être qu´il faudré partir que le fait que 0<a<b donc 0<un<vn donc 0<un+1<vn+1?

La récurrence est initialisée sans problème puisque U0<V0

Ensuite tu calcules Un+1 - Vn+1, qui vaut :

racine(UnVn)- (Un+Vn)/2

-(1/2)*(Un - 2*racine(UnVn) + Vn)

Ce qui s´écrit :

-(1/2)*((racine(Un))² - 2*racine(Un)racine(Vn) + (racine(Vn))²)

Soit

-(1/2)*(racine(Un) - racine(Vn))²

Ce qui est négatif.

la récurrence pour la 2, elle risque d´etre plus difficile...
je te propose d´observer =)

pour montrer que u<v, montrons que u(n+1)<v(n+1)
on a u(n+1)-v(n+1)=rac(uv)-((u+v)/2)=(2rac(uv)-u-v)/2
et c´est là qu´il faut bien obeserver, car c´est égal à -(rac(u)-rac(v)²)/2 (égalité remarquable)
or, un carré est toujours positif, mais comme ya un moins devant, ca veut dire que c´est toujours négatif, et la division par 2 ne change rien.

on a donc u(n+1)-v(n+1)=-(rac(u)-rac(v)²)/2<0
==>u(n+1)<v(n+1) et donc un<vn...

oh ben j´ai été grillé :o

merci les gars c´est vraiment sympa j´avais un peu fais sa pour la 3 avec l´identité remarquable mais bon la 3 je suis pas sur de ce que g fait parce qu´ne gros je dis que racine de un <= un

attention, ca , c´est vrai que quand Un est plus grand que 1...

arf alors je bloque....

alors personne peut m´aider?

si n est dans N
racine(Un*Vn)<=Vn car Un<=Vn
donc
racine(Un*Vn)<=(Vn+Vn-Un+Un)/2
racine(Un*Vn)<=(Vn-Un)/2 + (Vn+Un)/2
racine(Un*Vn) - (Un+Vn)/2 <= (Vn-Un)/2
et donc Vn+1 - Un+1 <= (Vn-Un)/2

je ne comprends pas ta démarche picto....

ah si en fait je viens de comprendre merci de m´avoir aidez!

en fait je reste perplexe sur racine(Un*Vn)<=Vn car Un<=Vn... pourrais tu juste détailler merci

un<=vn => unvn<=vn² <=> sqrt(unvn)<=vn

:/