Salut les matheux

"Achille va dix fois plus vite qu´une tortue qui a un stade (1) d´avance, Achille rattrapera-t-il la tortue?"

<<Non, disait Zénon, car pendant qu´Achille parcourt un stade, la tortue en parcourt 1/10, pendant qu´Achille parcourt ce 1/10, la tortue en parcourt 1/100, etc. Il s´écoulera donc une infinité d´instants avant qu´Achille rejoigne la tortue et, par suite, il ne l´atteindra jamais."

Qu´en pensez-vous ?

Ahahah c´est une version dérivée de la flèche qui n´atteint jamais sa cible. Pas mal ^^

Trop connue la flèche

"Qu´en pensez-vous ?"

tout le tant ... (quoi ? ça marche pas ici ?)

bref, ça dépend si achille s´arrète après chaque 1/10^i stade parcouru, ou s´il le fait sans s´arreter.

S´il s´arrête (même un temps très très court, pourvu que ce ne soit pas 0), alors il ne rattrape pas la tortue.

Mais s´il ne s´arrête pas, alors chaque "instant" (correspondand à l´une des distance) est plus court que le précédent, et même s´il y en a une infinité, leur somme (la durée totale) elle est finie (1.1111_ fois le temps pour parcourir un stade) et donc achille rattrape la tortue.

Et en même temps énorme

je connaissais plus celle d´Achille que celle de la flèche.
moi je pense que ça dépend comment on considère le probleme, bien entendu : si on avance, par exemple, par saccades de 10 mètres (oui, celle que je connais est un peu différente : Achille laisse 10 mètres d´avance à la tortue et va toujours 10 fois moins vite) , Achille la rattrapera vite, mais si on le considère comme Zénon, et bien là, c´est tout différent !
le probleme, c´est qu´il n´y a pas une infinité d´instant

sinon, y´a un truc qui dit que zéro virgule une infinité de 9 c´est égal à 1, je sais pas si ça a une quelconque valeur ici, mais ne sait-on jamais

c´est asymptotique! ca s´arrètera forcément quelque part

euh, qu´est-ce que la philosophie vient faire là dedans ?
caelacanthe ah bon, et pourquoi ça s´arretera ?
on descendra toujours de plus en plus vers l´infiniment petit...

Eh bien Zénon d´Hélé était un philosophe et par différents paradoxes (histoire de la flèche et de la course Achille/tortue...) il essayait de montrer que le mouvement n´existait pas!
Pour le paradoxe de la course, la résolution est prise d´un mauvais côté: Zénon ne considére uniquement l´intervalle de temps entre l´avance de la tortue et le retard d´Achille, donc forcément en considérant chaque fois d´un point de vu "avance de la tortue" il est logique qu´on arrive à "Achille ne rattrape jamais la tortue" (il s´agit quand même du point de vu pris à la base!). L´astuce de Zénon consistait à subdiviser cet intervalle de temps à l´infini: on considère qu´au départ que la tortue est à 100m d´Achille, qu´elle va à 10m/s et que Achille va à 100m/s, on considère une unité de temps correspond au temps mis par Achille pour faire 100m. Zénon considère d´abord une unité de temps (Achille va au point de départ de la tortue) puis 1/10 d´unité de temps, puis 1/100 etc...On arrive donc au final à une progression géométrique et une somme infinie de type:
1+1/10+1/100=1/1000.....
Une somme infini qui donne un résultat fini (on a un progression géométrique) donc:
1+1/10+1/100=1/1000.....=1/(1-1/10)=10/9
En fait, il faut 10/9 unité de temps pour qu´Achille rattrape la tortue (CQFD) cependant, Zénon n´ira pas plus loin.
La bonne méthode de résolution c´est tout simplement de dire directement : on prend 2 unité de temps, donc Achille parcourt 200m et la tortue 20m. La tortue sera donc à 120m de la ligne de départ d´Achille et Achille sera à 200m, donc Achille dépasse la tortue! CQFD

Whaaa, j´ai fait une grossière erreur de frappe: il faut lire:
"On arrive donc au final à une progression géométrique et une somme infinie de type:
1+1/10+1/100+1/1000.....
Une somme infini qui donne un résultat fini (on a un progression géométrique) donc:
1+1/10+1/100+1/1000.....=1/(1-1/10)=10/9
En fait, il faut 10/9 unité de temps pour qu´Achille rattrape la tortue (CQFD) cependant, Zénon n´ira pas plus loin. "

Bref, désolé pour l´erreur!

euh, je vois pas trop pourquoi 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 ... en continuant ainsi à l´infini aurait un résultat fini

"je vois pas trop pourquoi 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 ... en continuant ainsi à l´infini aurait un résultat fini"
Intuitivement ca se voit:
A chaque étape de la somme tu rajoutes une décimale.
Ce réel qui vaut 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 ... est le réel 1,111111.... il est composé d´une infinité de décimale, mais ce nombre appartient a R (et pas a Q d´ailleurs).

Ceci reste vrai pour toute somme de terme qui converge vers 0.

D´ailleurs une somme infini de 0 vaut 0.

"Ceci reste vrai pour toute somme de terme qui converge vers 0. "

non, pas vraiment (ou même, pas du tout).

1+1/2+1/3+... dont les termes convergent vers zéro n´a pourtant pas de limite (la somme diverge).

Même si pour 1/1+1/10+... ça semble intuitif, c´est tout de même parce qu´on a 2 ou 3 mille ans de math derrière nous. Car pour zénon, justement, il était évident qu´une somme infinie de terme diverge. (il n´avait pas le formalisme qu´on a aujourd´hui, et qui aide beaucoup pour ce type de problème)

"non, pas vraiment (ou même, pas du tout)."
"1+1/2+1/3+... dont les termes convergent vers zéro n´a pourtant pas de limite (la somme diverge)."
Oui tiens tu as raison, je suis fatigué.

"euh, je vois pas trop pourquoi 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 ... en continuant ainsi à l´infini aurait un résultat fini"
C´est sûr que c´est difficile à comprendre. Mais bon, prend par exemple une tarte entière. Tu la coupe en 2. Pour l´une des moitiés tu redivises en 2. Pour l´un des quarts, tu recoupes en 2 et ainsi de suite jusqu´à l´infini...Au final, tu auras les parts: 1/2 tarte, 1/4 de tarte, 1/8 de tarte et ainsi de suite jusqu´à l´infini. On fait la somme des parts:
1/2+1/4+1/8+1/16....
Intuitivment tu sais déjà que même si tu coupais en 2 à l´infini, si tu fais l´addition de toutes les parts, tu auras ta tarte en entier. On peut donc dire:
1/2+1/4+1/8+1/16....=1
Bon tu vois un peu le principe? Bref, si tu veux, tu peux taper "suite géométrique" dans google pour voir un peu comment ca marche! Mais bon en théorie ca rentre dans le programme d´une 1ere S (enfin de mon temps), mais si tu te sens capable de t´attaquer à ça, je ne peux que t´encourager! (Et je pense que si tu as des questions les autres forumeurs peuvent t´aider!)

je suis en seconde, donc je pense pas que je comprendrai tout, mais je zyeuterai quand même.
merci, je comprends effectivement mieux avec ton analogie, mais le truc, là, c´est qu´on rajoute à chaque fois une décimale, donc à la fin, on aura une infinité de décimales
par contre, je comprends que c´est un nombre fini grace à la précision de godrik disant que ce 1.11111... appartient à R, donc il ne peut etre infini ,mais je vois toujours pas pourquoi...

Pour ceux qui penseraient encore qu´achille ne pourrait pas ratraper la tortue:

même exemple en plus facile:

lancez une balle sur un mur...
soit d la distance entre vous et le mur

pour toucher ce mur, la balle va devoir parcourir la moitié de d, puis la moitié de la moitié de d, puis la moitié de la moitié de la moitié de d etc etc...

On pourrait donc en conclure que la balle ne touchera jamais (ou dans très longtemps) le mur puisqu´elle va devoir faire une infinité d´étapes... Or sauf si vous savez pas viser la balle touchera le mur très rapidement...

tout simplement parce que si on fait: (d/2) + (d/4) + (d/8) + (d/16) .... on arrivera à un moment à 1 et il n´y a donc pas une infinité d´étapes...

mais là encore, on ne rajoute pas à chaque fois la même décimale et ce infiniment.

Si j´ai bien compris, ça pourrait signifier que la droite d´équation y=0 est asymptote horizontale à la courbe représentative d´une fonction f en +oo alors les courbe Cf et y se touchent au final ?

En reprenant le paradoxe de la flêche, et en supposant Uo = 100 en tant que distance entre la flêche et la cible, on obtient la suite géométrique suivante :

Un+1 = Un*(1/2)
Un = Uo*(1/2)^n

Et donc, soit Sn la somme des termes de U1=50 (distance parcourue lorsque la flêche est tirée) à Un de la suite (Un) :
Sn = U1*(1-(1/2)^n)/(1-1/2)
Sn = 50*(1-(1/2)^n)/(1/2)

On obtient alors une suite (Sn) qui est convergente vers 100, mais je pensais que mathématiquement cela signifiait que Sn ne vaut jamais 100, quelque soit n aussi grand que l´on souhaite ?