"On obtient alors une suite (Sn) qui est convergente vers 100, mais je pensais que mathématiquement cela signifiait que Sn ne vaut jamais 100, quelque soit n aussi grand que l´on souhaite ?"
Oui c´est vrai! En fait, dans ton cas il s´agit de somme dont le nombre de termes est fini. Dans Sn, le nombre n est un entier naturel; donc si tu prends n=10, 20, 10000, ou 10^10, on aura toujours: Sn<100. Mais, tu as égalité si tu prends un nombre de termes infinis (là, il ne s´agit pas de prendre n "aussi grand que l´on souhaite": il faut que tu fasses une addition sans fin!)

A réfléchir, je pense qu´en 1ere S on apprend plutôt les sommes de termes d´une suite arithmétique ou géométrique mais avec un nombre fini de termes!! C´est plutôt en post bac qu´on aborde une somme avec un nombre infini de termes. Bref, ne vous prenez pas trop la tête; enfin, je veux dire que si ca embrouille quelques personnes oubliez vite ça, et restez sur vos acquis de cours!!

"c´est un nombre fini grace à la précision de godrik disant que ce 1.11111... appartient à R, donc il ne peut etre infini ,mais je vois toujours pas pourquoi..."
"mais là encore, on ne rajoute pas à chaque fois la même décimale et ce infiniment."
En fait je n´arrive pas à saisir ce que tu ne comprends pas. Le fait est que lorsque tu fais la somme de ces termes, la valeur a beau prendre de plus en plus de décimales, mais elle est constamment encadrée: Tu as par exemple 1 < 1,111... < 1,2 et ce, même si tu rajoutes autant de décimales que tu veux. De même tu as toujours 0,4 < 1/2+1/4+1/8... < 1,1 et ce, même si tu continues à additionner indéfiniment ces termes. Ceci montre qu´il y a convergence des résultats (en fait même si tu continues d´additionner, ta valeur ne va pas excéder une certaine limite!). Plus: plus tu additionneras, plus tu remarqueras que la valeur s´approche de plus en plus d´une limite; je veux dire par là que la valeur augmente de moins en moins à mesure que tu additionnes (de même que dans l´histoire de Zénon, intuitivement, on voit que le temps que met Achille pour combler son retard est de plus en plus court!). En fait, la limite en question correspond à la valeur si tu additionnes indéfiniment ces termes (Dans l´histoire de Zénon, la limite correspond à l´instant où Achille rattrape la tortue)

"c´est un nombre fini grace à la précision de godrik disant que ce 1.11111... appartient à R, donc il ne peut etre infini "
Il ne faut pas confondre le fait que son ecriture en représentation décimale soit infini et la non appartenance a R.
Pi apartient a R, pourtant sa représentation en nombre décimale est infini.
Ce que je veux dire en disant que 1,111.... est fini, c´est qu´il est borné. il est toujours inférieur a 1,2 tout en étant supérieur a 1,1 On peut d´ailleurs l´approché aussi près que l´on veut avec 1,12 ou 1,112 ...

Ce n´est pas le cas de la somme infini:
1+1+1....
Qui elle n´est pas borné par un entier. En effet, quelques soit l´entier n que je supposes borner ma somme infini. La somme des n+1 premiers terme est supérieur a n. (et tous les termes sont positifs)

oui, en effet, je m´étais emmêlé, j´ai vu ça trop tard.
ce nombre est peut etre encadrable par deux réels finis, mais il n´en reste pas moins infini, non ?

Sa représentation en nombre décimale comporte un nombre infini de chiffre.
Notons d´aileurs que 1+ 1/10 +1/100 + ... est un nombre rationnel: c´est 1 + 1/9

et ma question était la suivante : pourquoi la somme de 1 et d´une infinité de sous-multiples de 10 donne un nombre fini.

Je ne comprends pas ta question.
ce nombre est encadrable.
Une somme infini de zero sera fini.

Bon, on va faire parler les formules!!
On définit une fonction f telle que: f(n)=1/10^n
On définit la fonction somme S par: S(n)= f(0)+f(1)+f(2)+...+f(n).
Tu remarqueras que S(n)=1+1/10+1/100+...+1/10^n
On a également en multipliant par 1/10: 1/10*S(n)=1/10+1/100+1/1000...+1/10^(n+1)
On va faire la différence entre les 2 expressions ci dessus. On a donc:
S(n)-1/10*S(n)=1-1/10^(n+1)
ce qui donne en factorisant:
S(n)*[1-1/10]=1-1/10^(n+1)
puis:

S(n)=[1-1/10^(n+1)]/[1-1/10]=[1-1/10^(n+1)]/[9/10]

d´où: S(n)=10/9 * [1-1/10^(n+1)]
Pour la fonction somme S, on étudie la limite lorsque n va à l´infini. Tu remarquera que ca revient à faire la somme infinie: S(infini)=1+1/10+1/100+...
On a: lim ([1-1/10^(n+1)])=1 quand n va à l´infini.
Donc lim( S(n))=10/9
On a donc: S(infini)=1+1/10+1/100+...=10/9
CQFD

godrik encadrable, comme tout réel, et la somme de zéros, c´est un cas particilier0
Sakurazukamori désolé, les fonctions, c´est pas trop mon truc.
je crois que je vais me contenter d´admettre ce résultat.

mais ce n´est pas clair que la somme 1 + 1/10 + 1/100 ... est encadrable!

alors que la somme 1 + 2 + 3 ...n´est pas encadrable.

bah si, c´est clair qu´elle est encadrable puisqu´elle appartient à R.

vraiment ?
quel forme a la borne supérieur alors ?

bah oui, on peut l´encadrer : soit x = 1 + 1/10 + 1/100 ... : 0<x<2 par exemple).
par contre, pour la somme 1 + 2 + 3 ..., là, on peut pas dans R.

Bah là tu sembles avoir compris!!
Si tu dis que 0<x<2 tu montres bien que x même si il est une somme dont le nombre de termes est infini, a quand même un résultat fini dans le sens où on ne verra jamais x tendre vers l´infini!! (logique non? x ne peut pas être infini donc il est fini comme résultat!)

dans ce cas, désolé, mais je me suis mal expliqué (je ne disais pas que x tendait vers l´infini), et j´ai mal compris, je crois que ces derniers jours, sur ce topic, j´ai dit les plus grosses conneries qu´il soit.
j´avais pas vu un truc tout con, désolé
bon, bref, y´a quand même un truc dont j´aimerai avoir une confirmation : l´exemple de la tarte, ne peut pas etre comparé à cette somme, car la tarte est finie, alors que le nombre 10/9 s´écrit avec une infinité de décimales (c´est un peu comme vouloir tracer un segment de longueur Pi), non ?

"bon, bref, y´a quand même un truc dont j´aimerai avoir une confirmation : l´exemple de la tarte, ne peut pas etre comparé à cette somme, car la tarte est finie, alors que le nombre 10/9 s´écrit avec une infinité de décimales (c´est un peu comme vouloir tracer un segment de longueur Pi), non ?"
Il n´empêche que l´exemple de la tarte reste toujours valable: La tarte est finie, mais 10/9 l´est aussi. D´ailleurs, si je te demande de couper la tarte en 3, une part vaudra dans ce cas un tiers de la tarte bien que tu aies 1/3=0,33333333... Ce n´est pas parceque le nombre de décimal est infini qu´il est impossible de raisonner sur des choses concrètes! D´ailleurs, mathématiquement parlant, rien n´empêche le tracé d´un segment de longueur Pi, à savoir un segment de 3,14.... cm! Cependant, que ce soit pour le cas du tiers de la tarte ou pour le tracé du segment de longeur Pi, si mathématiquement ces objets peuvent être considérer, il est difficile de le faire réellement; il sera par exemple difficile de respecter avec exactitude les dimensions (couper exactement un tiers d´une tarte)

mais, ça ne tient pas au fait que 1/3 ait une infinité de décimal.

Car 1/2=0.5 et pourtant il est pas (beaucoup) plus dur de faire l´un ou l´autre (je veux dire que générallement, quelqu´un aura plus de facilité à couper en 2 qu´en 3, mais pour faire "pile" 1/2 ou 1/3, la difficulté est la même (si la marge d´erreur acepté est la même).

ok, je vois le truc (je me rends compte que c´était tout con en fait )

"mais, ça ne tient pas au fait que 1/3 ait une infinité de décimal.
Car 1/2=0.5 et pourtant il est pas (beaucoup) plus dur de faire l´un ou l´autre (je veux dire que générallement, quelqu´un aura plus de facilité à couper en 2 qu´en 3, mais pour faire "pile" 1/2 ou 1/3, la difficulté est la même (si la marge d´erreur acepté est la même)."
Oui, je sais et si tu relis mon post, je ne dis pas le contraire de ce que tu dis!^^ Ma dernière phrase était juste là pour montrer un fossé entre les maths (qui autorise un raisonnement sur des tiers parfaits d´une tarte, ou des demis si tu veux) et la réalité; un fossé qui a peut être entrainé une confusion chez viper!