Bonjour, j'ai un DM de Spé maths à faire pour Mardi.
Le problème, c'est que ce sera ma seule note dans le trimestre avec mon autre note qui était de 4,5...
Un 4,5 faisant tache dans les dossiers, j'aimerais beaucoup me donner toutes les chances de réussir.

J'ai donc un DM de trois exercices, que je donnerais au fur et a mesure que j'avancerais dans le DM.

1er exercice : CONGRUENCES
Démontrer que: pour tout entier naturel n non nul, 4^n+15n-1 est divisible par 9.

==> J'ai dis que ça revenait à démontrer que c'était congru à 0 [9]. Puis je n'arrive pas à démontrer ca...

Merci beaucoup de m'aider, bonne journée !

4^1 = 4
4^2 = 7
4^3 = 1

Pardon

Je n'ai pas compris ton raisonnement...

Je ne comprend vraiment pas comment 4^2 peut etre égal à 7

Ah d'accord j'ai compris...

Et si je remplace à chaque fois par n={1;2;3;4;5;6;7;8;9} ca marche pas ???

omg

Quoi ?

Aide moi stp

t'es d'accord qu'on peut écrire n'importe quel entier n avec 3p , 3p+1 et 3p+2 ?

T'as juste à démontrer que (4^n) + 15n - 1 est congru à 0 mod 9

IronTournament6 t'as montré que :

4^1 = 4 (9) (ici n = 3p+1 = 3*0 + 1)
4^2 = 7 (9) (ici n = 3p+2 = 3*0 + 2 )
4^3 = 1 (9) ( ici n = 3p = 3*1 )

après si on continu , " le cycle recommence " à 3p+1, c'est comme une boucle :

4^4 = 256 = 4 (9)
4^5 = 1024 = 7 (9)

et ainsi de suite

bref, Irontournament a trouvé que 4^3 = 1 (9), donc il va exprimer tous les cas possible par n = 3p , n = 3p+1 et n = 3p+2 puisque ça va simplifier grandement les choses étant donner que 4^(3p) = 1 (9) , donc 4^(3p+k) = 4^(3p) * 4^k = 4^k (9) car 4^(3p) est congru à 1 (9) , 0 =< k =< 2

enfin bon si t'as mal compris redemande moi

donc du fait que tout entier peut s'écrire sous la forme 3p , 3p+1 , 3p+2 et biens tu as juste à tester ces trois cas ( irontournament a déjà testé n = 3p+2 pour toi) et tu auras démontrer que 4^n+15n-1 est divisible par 9

t'es d'accord qu'on peut écrire n'importe quel entier n avec 3p , 3p+1 et 3p+2 ?

Non

Et n doit etre >0 aussi.

imagine l'ensemble des multiples de 3, il te manquera des "trous" d'une longueur à chaque fois de 2 nombres pour obtenir N tout entier, donc on les comble à l'aide de 3p+1 et 3p+2 , puisqu'à 3p+3 on retombe sur le prochain multiple de 3, etc.

exemple :

0,3,6,9 ..

entre 0 et 3 il me manque 1 et 2, donc on utilise 3*0 + 1 et 3*0 + 2 pour combler ce " manque ". Entre 3 et 6 on utilise 3*1 + 1 pour obtenir 4 et 3*1 + 2 pour obtenir 5...

donc au final t'as N tout entier puisque tu peux écrire n'importe quel nombre rien qu'avec 3p, 3p+1 et 3p+2

non pour n = 0 ça marche , 0 est un multiple de tous les nombres

Mais pourquoi on se concentre sur les multiples de 3 ? Quel rapport ?

n=/=0 c'est dans l'énoncé...

Ca aurait marché avec 2p et 2p+1 nan ?

bah ils se sont trompé ça marche pour n = 0 puisque 9 divise 0 ..

on se concentre sur les multiples de 3 tout simplement parce que 4^3 = 1 (9) donc ça nous arrange d'exprimer n par 3p, 3p+1 et 3p+2 puisque comme déjà expliquer plus haut 4^(3p+k) = 4^(3p) * 4^k et à ce stade là 4^(3p) est congru à 1 (9), donc ça se simplifie en remplaçant :

4^(3p) * (4k) = 4^k (9) , ou k pouvant être égal à 0,1 et 2

tu peux décider de poser n = 2p , 2p+1 et mais ça va pas beaucoup t'arranger

D'accord mais en quoi le fait que k=0,1,2 implique le résultat à démontrer???

On s'interesse autant au 4^3=1[9] car il faut démontrer que 4^n+15n=1[9] ou c'est pour une autre raison ????

0, 1 et 2 c'est juste les restes possibles dans la division euclidienne de n par 3.

tu montres que dans les 3 cas, en posant n=3p, 3p+1 et 3p+2, que 4^n + 15n - 1 = 0 (9) donc 9 | 4^n + 15n - 1 pour tout n € N

"tu montres que dans les 3 cas, en posant n=3p, 3p+1 et 3p+2, que 4^n + 15n - 1 = 0 (9)"

Je vois pas vraiment pourquoi...

Il reste 2 exercices apres