Bonjour à tous !

Je re-bloque sur un petit exercice, qui je pense doit être facile, j'ai compris le principe, mais je n'arrive pas à avancer... !
Voici l'énoncé :

Soit G un groupe et H un sous groupe de G. On note H\G = { Hx, x € G } l'ensemble des classes latérales droites. Les applications suivantes sont-elles tjrs bien définies ? Laquelle est une action de G sur H\G dans tous les cas ?
1) (g, Hx) -> gHx
2) (g, Hx) -> Hxg^(-1)
3) (g, Hx) -> Hxg

Alors ce que j'ai commencé à faire :
1) Soit f l'application de l'énoncé.
f est bien définie si :
(g1,Hx1)=(g2,Hx2) => f(g1,Hx1)=f(g2,Hx2), ie :
g1Hx1 = g2Hx2.

Donc je pars du fait que :
(g1,Hx1)=(g2,Hx2)
et alors là je commence à ne pas trop savoir quoi faire, j'ai dit que :
g1=g2 et Hx1=Hx2.
Et de Hx1=Hx2 j'en déduis qu'il existe h € H tel que x2 = hx1.
Mais je ne vois pas comment finir, ni quoi démontrer en fait...

Quelqu'un pourrait m'aider ?

Merci !

Bonjour,

Pour montrer que l'application est bien définie tu dois montrer que l'image par l'application est bien une classe à droite.
càd que pour tout g dans G, gHx est une classe à droite (pour le 1). C'est à dire qu'il existe x' tel que gHx=Hx'. Pense à un cas où H n'est pas normal.
Pour le 2 et 3 le fait que l'application est bien définie est évident...

Après tu dois vérifier si l'application est une action de groupe. Tu dois donc vérifier si:
pour la 2, (Hxg_1^(-1))g_2^(-1)=Hx(g_1g_2)^(-1) pour tout x dans G
et pour la 1 si
(Hxg_1)g_2 = Hx(g_1g_2) pour tout x dans G.

Merci pour ta réponse.
Donc je ne dois pas utiliser ce que j'ai déjà fait ?
En fait pourquoi le fait que l'application est bien définie revient à dire que l'image est une classe à droite ?

Parce qu'en réfléchissant après je peux dire que :

Alors j'ai
g1=g2
x2= hx1 pour un certain h.
Donc :
g2Hx2 = g1Hhx1 = g1Hx1 car h € H.

Ce que tu écris est vrai mais ce n'est pas la bonne chose à vérifier :
toi, tu montres que si g1=g2 alors f(g1)=f(g2).

Ce que tu dois aussi montrer est que l'image par f arrive dans le bon ensemble, ie:
pour tout g dans G, f(g) appartient à l'ensemble {Hx| x dans G}.
Ce qui est évident pour la 2 et la 3 mais pas pour la 1 (et c'est même faux pour ce dernier cas).

Juste une précision :
pour moi, l'application est sensée aller de
G x H\G dans H\G
Il faut donc vérifier que f(g) appartient à H\G pour qu'elle soit bien définie.
Si ton énoncé ne précise rien quand à l'ensemble d'arrivée, tu peux dire que l'application est bien définie comme tu l'as fait. Et ensuite montrer que l'application n'est pas une action de groupe en montrant que
Im f =/= H\G.

A toi de voir comment est écrit l'énoncé!

L'énoncé précise bien l'ensemble d'arrivée comme tu l'as dit !
C'est G * H\G -> H\G !

Et je suppose (g1,Hx1)=(g2,Hx2), pas g1=g2...

(g1,Hx1)=(g2,Hx2) implique directement g1 = g2.
Pour montrer que l'application est bien définie tu dois montrer que :
- elle arrive dans le bon ensemble, ie les classes à droite.
- le résultat ne dépend pas du représentant de la classe choisi.

Mais est-ce que ce que j'ai fait est JUSTE :
(g1,Hx1)=(g2,Hx2) g1=g2 et Hx1=Hx2.
Et de Hx1=Hx2 j'en déduis qu'il existe h € H tel que x2 = hx1
D'où :
g2Hx2 = g1Hhx1 = g1Hx1 car h € H.
Et je dois me demander si
gHx est dans H\G ?
C'est à dire est-ce qu'il existe x' € G tel que gHx = Hx'.
Par contre là, à mon avis ce n'est pas tout le temps vrai, peut-être que si H est normal dans G ?
Car si H est normal dans G, alors gHx = H pour tout g et x dans G.
Donc ce serait vrai si H est normal dans G, en prenant x'=e, élément neutre de H ?

"Mais est-ce que ce que j'ai fait est JUSTE :
(g1,Hx1)=(g2,Hx2) g1=g2 et Hx1=Hx2.
Et de Hx1=Hx2 j'en déduis qu'il existe h € H tel que x2 = hx1
D'où :
g2Hx2 = g1Hhx1 = g1Hx1 car h € H. "

Oui oui c'est juste mais bon tu te compliques la vie, c'est évident que si Hx1 = Hx2, gHx1 = gHx2.

"Et je dois me demander si
gHx est dans H\G ?
C'est à dire est-ce qu'il existe x' € G tel que gHx = Hx'. "

Oui, c'est ça. Ar-Pharazon t'a dit que ça n'est pas toujours vrai, et de chercher un contre-exemple dans le cas où H n'est pas normal.

Ok merci !
Donc en fait j'ai montré que pour le 1) :
f est bien définie si H est normal dans G.
Donc je dois trouver un contre exemple, où H n'est pas normal dans G, et f n'est pas bien définie ?
Comment le trouver ?

"Car si H est normal dans G, alors gHx = H pour tout g et x dans G. "

Non, un sous-groupe est normal si gHg^-1 = H pour tout g de G.

Ah oui..
Donc quand je dois montrer:
gHx est dans H\G ?
C'est à dire est-ce qu'il existe x' € G tel que gHx = Hx'.

Je dois dire que ça ne marche quand quand x=g^-1 et x' = e ?

Non, si le sous-groupe n'est pas normal, il se peut très bien que gHg^-1 =/= H.

Il faut que tu montres qu'il existe g,x dans G tels que pour tout x' de G, gHx =/= Hx'. Autrement dit, qu'il existe g,x de G tels que gHx n'est pas une classe à droite.

J'ai pas de contre-exemple en tête là par contre. Peut-être avec le groupe diédral D3...

Donc pour montrer que gHx =/= Hx'
je ne vois pas comment faire du tout !...
et le contre exemple n'est pas obligatoire, si ?

en fait je suis totalement perdue, je ne sais même plus ce que je dois montrer pour la 1), ce qui est inutile, etc...

Tu as une application de G x G\H -> G\H, (g,Hx) -> gHx
Pour qu'elle soit bien définie, il faut que pour tous g,x dans G, gHx soit un élement de G\H, c'est à dire une classe à droite. Il doit donc exister un x' de G tel que gHx = Hx'.
Or ça n'est pas toujours vrai. Je pense que c'est mieux d'avoir un contre-exemple quand même... Je pensais à G = D3, et H = <s> = {1,s}, qui n'est pas un sous-groupe normal, et y'a 3 classes à droite. Mais j'ai pas vérifié que ça fournit un contre-exemple.

Quand tu marques G\H, c'est pareil que H\G ? Je pense que tu voulais dire H\G...
Et lorsque tu dis que ce n'est pas tjrs vrai, on peut le démontrer directement, ou est-ce que c'est le contre ex qui va servir de démo ?

Oui, c'est cela :
tu montres que pour le groupe diédral D3, pour le groupe H={1,s}, pour tout g dans D3, gH n'est pas une classe à droite.
Donc, l'image par f de (g, H) n'appartient pas à H\G.
Cela montre que l'application n'est pas toujours bien définie dans le cas 1.

Je sais pas moi je note G/H les classes à gauche, et G\H les classes à droite, mais peu importe.
C'est le contre-exemple qui sert de démo.
Avec ce que je disais, on a 3 classes à droite qui sont :
la classe de 1 H1 = {1,s}
la classe de r Hr = {r,sr} = {r,r²s}
la classe de r² Hr² = {r²,sr²} = {r²,rs}.

Or rHr = {r²,r^3s} = {r²,s} n'est pas une classe à droite.