oui, tu as raison Rikku.
Je reprends :
2) Prenons x=e
f(g1, f(g2,H))=f(g1,Hg2)=Hg2g1
f(g1g2,H)=Hg1g2
On a donc égalité ssi [g1,g2] appartient à H.
Or, ce n'est pas toujours le cas (je te laisse chercher le contre-exemple si tu veux être complet).

3) f(g1, f(g2,H))=f(g1,Hxg2^(-1))=Hxg2^(-1)g1^(-1)=Hx (g1g2)^(-1)=f(g1g2,H)

Ok ok sauf que 3) et 2) sont échangés lol

Je résume tout, est-ce correct :

En résumé, si f est l'action, G un groupe, E un ensemble, cela revient à dire :
f : G*E ---> E
f(e, x) = x et
f(g1, f(g2,x))= f(g1g2, x)

Donc ici :

2)
f : G*H\G ---> H\G
(g, Hx) ---> Hxg^-1
f(e,Hx) = Hxe^-1 = Hx.
f(g1, f(g2,Hx)) = f(g1, Hxg2^-1) = Hxg2^-1g1^-1 = Hx(g1g2)^-1 = f(g1g2, Hx)
donc f est une action de G sur H\G sans condition particulières.

3)
f : G*H\G ---> H\G
(g, Hx) ---> Hxg
f(e,Hx) = Hxe=Hx
f(g1, f(g2, Hx)) = f(g1, Hxg2) = Hxg2g1 = Hxg1g2 ssi g1 et g2 commutent entre eux.
Donc f est une action si G est abélien.

En fait c'est pas nécessaire que g1 et g2 commutent, la condition c'est que [g1,g2] soit dans H.
Si G est abélien, c'est une action oui. Mais je pense pas que la condition soit nécessaire.
Tu dois pouvoir trouver un contre-exemple facilement avec D3.

Mais le fait que [g1,g2] € H n'implique rien d'autre ?
Je peux le laisser comme ça ?

Je pense que la condition nécessaire et suffisante est que le groupe dérivé [G,G] soit un sous-groupe de H. Mais je l'ai juste testé de tête donc à vérifier...
Dans le cas abélien, on a [G,G]=1<H.

A la limite t'as même pas besoin de parler du commutateur, tu donnes juste un contre-exemple. G = D3, H = <s>, g1 = r, g2 = s. Je te laisse vérifier que Hg1g2 =/= Hg2g1.

Ar-Pharazon :
La condition [g1,g2] € H signifierait que [G,G] < H ?

J'essaie de vérifier que [G,G] < H avec [G,G]={[g1,g2] ; g1, g2 € G²}
(*) [G,G] non vide car contient e (= e*e*e^-1*e^-1)
(*) soit g1, g2, g3, g4 € G².
Montrons que [g1,g2]([g3,g4])^-1 € H.
[g1,g2]([g3,g4])^-1
=[g1,g2][g4,g3]
=g1g2g1^-1g2^-1g4g3g4^-1g3^-1

Mais après... ?

[G,G] c'est pas {[g1,g2] ; g1, g2 € G²} mais <{[g1,g2] ; g1, g2 € G²} >.

Ouais donc faudrait mettre des <> partout !
mais après je bloque totalement, quelle est l'hypothèse qu'on doit utiliser...?

"Ar-Pharazon :
La condition [g1,g2] € H signifierait que [G,G] < H ?
"

On demande cette condition pour tout g1,g2.
Donc, {[g1,g2] ; g1, g2 € G²} est inclus à H.
Mais comme H est un groupe, cela implique que [G,G] < H.

Cela montre que si Hxg1g2=Hxg2g1 pour tout x,g1,g2, alors [G,G] < H.
Dans l'autre sens, si [G,G] < H, alors pour tout g, g',
[g,g'] appartient à H.
Donc, Hgg'g^-1g'^-1= H
Donc, Hgg'=Hg'g.

Mais tu n'as pas besoin de tout cela pour finir ton exercice :
utilises juste le contre-exemple donné par Rikku

Si c'est bien ça me fait travailler, et c'est plus complet !

Le seul truc c'est que je ne savais pas qu'il suffisait que :
{[g1,g2] ; g1, g2 € G²} est inclus dans H implique :
[G,G] < H (ce qui voudrait dire que l'on a pas besoin de démontrer à la main que [G,G] est un sous groupe ?)

Le reste j'ai compris !

Et en résumé y'a que la 2) qui définit une action sans conditions... !

"Le seul truc c'est que je ne savais pas qu'il suffisait que :
{[g1,g2] ; g1, g2 € G²} est inclus dans H implique :
[G,G] < H "

C'est car la définition de [G,G] est justement le groupe engendré par {[g1,g2] ; g1, g2 € G²}.
Comme H est un sous-groupe, on sait qu'il est stable par multiplication et inverse.
Donc, tu as que si A est un sous-ensemble de H alors le groupe engendré par A est un un sous-groupe de H.

Ah oui, en effet...

Bon, je pense que l'exo est terminé, merci pour vos aides précieuses !
Mais je ne vous dis pas adieu...

Alors...
Au revoir !
Et encore merci à tous !

Re !

Je reviens un peu sur cet exo, juste pour la question 3) quand je souhaite démontrer que :

f est une action de groupes <=> [G,G] < H.
Pour l'implication réciproque :

On suppose [G,G] < H, et donc après quelques calculs cela donne :
Hg1g2 = Hg2g1.
Mais nous on souhaiterait avoir Hxg1g2=Hxg2g1 pour ainsi conclure que :
f(g1, g1g2,Hx)) = f(g1g2, Hx).
Comment faire apparaître ce "x" ?

Merci !

Euh f(g1, f(g2,Hx))= f(g1g2, Hx) *

Tu as montré que
(1) Hgg'=Hg'g pour tout g,g' dans G.

Donc,
Hxg1g2 = Hg2xg1 (par (1) avec g=xg1 g'=g2)
Hg2xg1 = Hxg2g1 (par (1) avec g=g2 g'=x).

Merci, j'avais pensé à ça aussi, comme g1 est dans G je peux l'écrire xg'....
A + !

Attends juste pour ta 2eme ligne c'est pas plutot :
Hg2xg1 = Hxg2g1 (par (1) avec g=g2 g'=xg1).

Non, c'est correct : on veut permuter x et g2.
Plus précisément, on a:
Hg2x=Hxg2 par (1)
Puis, on multiplie par g1 à droite.