Alors je résume :

Question 1):

Soit f : G*H\G ---> H\G définie par f(g,Hx)=gHx pour tous g, x dans G.

f est-elle bien définie ?
Soient g1, g2, x1, x2 dans G.
(g1,Hx1)=(g2,Hx2) => g1=g2 et Hx1=Hx2 d'où g1Hx1 = g2Hx2.
Or, gHx appartient-il tjrs à H\G pour tous x, g dans G ?

ie, peut-on tjrs trouver x' dans G tel que gHx = Hx' ?
Supposons que H n'est pas normal dans G.
Alors pour tout g dans G , gH =/= Hg, donc gHx =/= Hgx = Hx' avec x' € G (car gx € G).
Donc on gHx = Hx' que si H est normal dans G, ie:
f est bien définie si H est normal dans G.

Contre exemple :
G = D3 = { e, r, r², s, rs, r²s }
Soit H = <s> = { e, s }
Pour g € G,
gH = { e, s, r, rs, r², r²s } et ça ce n'est pas une classe à droite ?

Je réécris, parce que ça peut porter à confusion :

la classe de 1 : H1 = {1,s}
la classe de r : Hr = {r,sr} = {r,r²s}
la classe de r² : Hr² = {r²,sr²} = {r²,rs}.

Tu peux zapper la partie qui parle de sous-groupes normaux et directement passer au contre-exemple.

merci....
Ok et pourquoi les 3 groupes H1, H2, h3 ne sont pas des classes à droite ?

Calcule par exemple f(r,Hr) et tu verras que ça ne correspond à aucune des 3 classes à droite.

Les classes à gauches sont :
H={1,s}
rH={r,sr^2}
r^2H={r^2,sr}
Tandis que les classes à droite sont :
H1 = {1,s}
Hr = {r,sr}
Hr^2 = {r^2,sr^2}

Tu peux donc voir que
f(r, H) = {r,sr^2} n'est pas une classe à droite.

Rikku :
f(r, Hr) = rHr = ?

Ar-Pharazon : ok j'ai compris ce que tu as fait, et tu as pris g=r et x=e dans ton exemple, c'est ça ?

oui

Hr = {r,sr} donc rHr = {r²,rsr} = {r²,s}, qui n'est pas une classe à droite.

Mais prends l'exemple de Ar-Pharazon si tu préfères.

Ok...
Maintenant j'ai un problème pour l'action de groupe ...

Je dois essayer de voir si :

g1(g2Hx)=(g1g2)Hx pour tout x , g1 et g2 dans G.
Je ne vois pas comment faire...
gi(g2Hx)= ?...

Non mais tu peux t'arrêter là pour la 1). Déjà si l'application est pas bien définie elle risque pas d'être une action de groupe.

Lol ok...

Donc pour la 2) :
f va bien dans H\G car Hxg^(-1) est une classe à droite.
(g1,Hx1)=(g2,Hx2)
g1=g2 et Hx1=Hx2.
et donc Hx2g2^(-1) = Hx1g1^(-1).

Je dois essayer de voir si :

Hxg2^(-1)g1^(-1)= Hx(g1g2)^1 pour tout x , g1 et g2 dans G.
c'est bien ça ?

Oui. Théoriquement il faudrait vérifier aussi que f(1,Hx) = Hx (si je note 1 le neutre de G) mais là c'est évident.

(Hxg2^(-1))g1^(-1) = ( g2*x^(-1)*H^(-1) )^(-1)*g1^(-1) = (g2*x^(-1)*H^(-1)*g1)^(-1)...
Mais après je suis bloquée, comment continuer ?
Je vois qu'on peut arriver à obtenir le résultat de telle sorte que c'est une action, mais il faudrait que les éléments commutent entre eux pour pouvoir ré-arranger les termes !

et pour le 3), j'aurais :

(Hxg2)g1 = (Hxg2g1) = Hx(g1g2)
Ça me semble trop simple ?...
(et f(1, Hx) = Hx*1 = Hx)

et pour le 3), j'aurais :

(Hxg2)g1 = (Hxg2g1) = Hx(g1g2)
Ça me semble trop simple ?...
(et f(1, Hx) = Hx*1 = Hx)

Pour la 3, c'est correct : c'est aussi simple que ça en a l'air.
Pour la 2, ce n'est pas une action dans tout les cas.
Considère le cas où x=e et suppose l'égalité entre f(g_1,f(g_2,H)) et f(g1g2,H). Puis regarde ce que tu peux en tirer comme conséquence sur g1,g2 (plus précisément sur le commutateur de g2 et g1).

Donc pour la 2) , j'ai faux ^^

Alors soit x=e.

je suppose donc que Hx(g1^-1)g2^-1 = Hx (g1g2)^-1
ie : Hg1^-1g2^-1 = H (g1g2)^-1
ie : Hg1^-1g2^-1 = H g2^-1g1^-1
ie : Hg1^-1g2^-1g1 = H g2^-1
ie : Hg1^-1g2^-1g1g2 = H
donc [g1,g2] € H
euh...

C'est pas le contraire ? La 2) est une action car g2^(-1)g1^(-1) = (g1g2)^-1.

Et pour la 3) on a f(g1,f(g2,Hx)) = f(g1,Hxg2) = Hxg2g1.
Et f(g1g2,Hx) = Hxg1g2. Donc ça marche pas si g1 et g2 commutent pas.

C'est vrai aussi , je comprends plus rien lol