Mon second semestre à commencer il y a une semaine et j'ai eu mon 1er cours de maths sur les espaces vectoriels et j'ai pas compris grand chose...bref, donc j'espère que quelqu'un voudra bien m'aider

1) déjà j'ai pas compris ce que signifie par exemple R^2 ou R^3...R^n .

2) Soit G un ensemble et + une loi sur cet ensemble, + est une application de G x G -> G qui à (x,y) € G x G associe le point x+y de G

là je comprend pas la phrase "une application de G x G -> G"

Et dans le même domaine , que veut dire "pour tout (x,y,z) € GxGxG ?

merci d'avance à ceux qui pourront m'éclairer

R: l'ensemble des nombres x tel que x réel
R^2: l'ensemble des couples (x;y) tels que x et y réels
...
R^n: (a_1;a_2;a_3;...;a_n) avec a_1 réel, a_2 réel, ... , a_n réel

"une application de G x G -> G"
Une application qui associe deux éléments de G pour former un autre élément de G

"pour tout (x,y,z) € GxGxG "
Pour tout (x;y;z) € G^3, c'est à dire que x€G, y€G et z€G

A vérifier car je ne suis qu'en TS, mais ça doit etre ça.

Oui, c'est ça.

1) R^2 ou R^3 ou R^n, ce sont des espaces vectoriels, de dimension respectivement 2,3 et n. Chaque élément de cet espace est un vecteur de dimension respectivement 2, 3, ou n. Ainsi, un vecteur de R^2 s'écrit (x,y), de R^3 (x,y,z) où à chaque fois x,y, et z sont des scalaires de R.

2) Une application de GxG --> G est une application qui prend deux éléments de G pour donner un élément de G à la fin.

Par exemple, l'application de GxG dans G, qui au couple (x,y) associe x+y, est une application qui prend comme paramètre deux valeurs de G, à savoir x et y, et qui sort une valeur de G, à savoir x+y.

3) Pour tout (x,y,z) € GxGxG, veut dire que le triplet (x,y,z)€G^3, c'est à dire que chaque élément du triplet appartient à G, et que (x,y,z) est un vecteur de G^3.

merci pour l'aide.

Sinon je comprends pas très bien la définition d'un espace vectoriel (ça doit faire 8 mois que j'ai plus fait de maths, et c'est assez dur de s'y remettre).

le prof nous a donné cette définition :

http://s2.noelshack.com/old/up/ev-82f7b51571.png

Dans un bouquin que j'ai acheté j'ai cette définition :

http://s2.noelshack.com/old/up/ev02-f268614290.png

Dans la définition de mon prof sur la loi interne de E (X,Y) , à quoi corresponde X et Y ? à 2 vecteurs , avec X(x1,y1) et Y(x2,y2) ?

• correspond

En fait je comprends qu'est ce que l'ensemble E ? un ensemble de réels ? de vecteurs ?

décidément...

• je comprends pas

Un espace vectoriel c'est un ensemble muni de deux lois qui vérifient certaines propriétés (celles énoncées dans la définition que tu as postée). Les éléments d'un espace vectoriel sont appelés les vecteurs (c'est la définition d'un vecteur) et les éléments de K sont appelés les scalaires.

"E ça peut être un ensemble de réels, de complexes, de vecteurs, de polynomes, de fonctions, de suites... bref n'importe quoi qui peut être muni d'une structure d'espace vectoriel "

Donc si l'ensemble E est un ensemble de vecteurs, d'après la loi interne énoncé ici :
http://s2.noelshack.com/old/up/ev-82f7b51571.png ,
soient X(x1;y2) et Y(x2,y2) 2 vecteurs alors X + Y -> W(x1+x2;y1+y2)

C'est bien ça ?

Et sinon qu'est ce que tu appelles "une structure d'espace vectorielle" ? Par exemple c'est quoi la structure vectorielle d'un ensemble de polynômes ?

E c'est toujours un ensemble de vecteurs par définition d'un vecteur.

Munir un ensemble d'une structure d'espace vectoriel ça veut dire qu'on définit sur cet ensemble deux lois : une loi interne et une loi externe, qui vérifient les propriétés (1) à (8) de ta définition.
Prenons par exemple R[X] l'ensemble des polynômes à coefficients réels. On peut munir R[X] d'une structure d'espace vectoriel en définissant une loi interne : l'addition des polynômes notée +, et une loi externe notée . , la multplication par un scalaire.
On a + : R[X] x R[X] ----> R[X]
(P,Q) -----> P+Q
Et . : R x R[X] ----> R[X]

Tu peux vérifier que ces lois vérifient bien les axiomes d'espace vectoriel.
(lambda,P) ----> lambda*P

Donc si je comprends bien on peut munir un ensemble d'une structure d'espace vectoriel sans qu'aucun vecteur n'intervienne ?
Comme dans ton exemple sur R[X].

Dans mon exemple les vecteurs sont les polynômes et les scalaires sont les réels.
Si je munis l'ensemble des suites qui convergent vers 0 d'une structure d'espace vectoriel, les vecteurs sont les suites qui convergent vers 0.
Si je munis C d'une structure d'espace vectoriel, les vecteurs sont les complexes.
Si je munis l'ensemble des matrices carrées d'une structure d'espace vectoriel, les vecteurs sont les matrices carrées.
Bref, par définition, un vecteur c'est un élément d'un espace vectoriel. A chaque fois que tu munis un ensemble d'une structure d'espace vectoriel, les éléments de cet ensemble sont appelés des vecteurs.

ah d'accord je crois que j'ai (enfin) compris !
Les "vecteurs" d'un espace vectoriel n'ont rien à voir avec les "vecteurs" en géométrie, du genre u(x,y) ?

Ce sont des vecteurs de R^2 , R^3, ... , R^n

Et sinon, les lois d'un espace vectoriel ce sont toujours l'addition pour la loi interne , et toujours la multiplication pour la loi externe ?

En fait les vecteurs que tu connais déjà en géométrie ne sont qu'un cas particulier des vecteurs d'un espace vectoriel.
Par exemple un vecteur u(x,y) c'est un élément de R² en tant qu'espace vectoriel.

polytech mais dans l'exemple de prauron qui me dit qu'on appelle vecteur un élément de l'espace vectoriel, alors si les suites qui convergent vers 0 sont les vecteurs, on ne définit pas de normes, de sens ou de direction aux suites à ce que je sache non ?

En théorie ça peut être n'importe quelles lois qui vérifient les axiomes de la définition d'espace vectoriel. Mais en pratique ça sera toujours ça oui.