salut

Je voudrais savoir pour ceux qui ont démontré la formule det(AB)=det(A)det(B) comment vous vous y êtes pris?
oui parce que moi j´ai du tout développé c´est de l´algèbre trop long!! Le développement compte 162 termes!!! Enfin après 4 heures j´arrive quand même au résultat voulu mais c´est long bref svp je voudrais savoir comment vous auriez fait..
merci

utilisation des applications linéaires f et g associées respectivement aux matrices A et B, d´où A*B est la matrice de l´application fog.
base=(e1,...en) une base de l´ev.
il faut ensuite démontrer que l´application
(u1,...,un)-> vecteurs de E
(u1,...,un)->det(base)(f(u1),...,f(un)) est bien n-linéaire alternée.

On a alors par propriété des app n-linéaires alternées
det(base)(f(u1),...,f(un))=det(base)(f(e1),...,f(e
n))*det(base)(u1,...un)

on prend
u1=g(e1)
u2=g(e2)
...
un=g(en)

etc.

je ne sais pas si c´est très lisible, et si c´est très bien expliqué (j´espère au moins que c´est juste ^^).

a l´occasion je scannerais la démo si je la retrouve, et si je repasse par là.

mouais pas mal d´utiliser les applications linéaires mais avec le déterminant on parle pas de matrice enfin je vois pas où tu veux en venir là... (j´ai oublié de préciser mais c´est pour une matrice 3x3 bien sûr)

enfin je veux dire que par exemple avec

(AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1) sachant Matrice(réciproque f) = inverse matrice(f) tu raisonnes sur les applications là je comprends

(AB)^(-1)=(M[f]*M[g])^(-1)=(M[fog])^(-1)=M[récipro
que(fog)] =M[rg o rf] = M[rg]*M[rf] = M[g]^(-1) * M[f]^(-1) = B^(-1) * A^(-1)

avec cet exemple tu vois qu´utliser les applications linéaires est évident mais tu vois là on parle de déterminants donc je vois comment tu raisonnes

"avec le déterminant on parle pas de matrice "
"c´est pour une matrice 3x3 bien sûr"

on peut calculer le déterminant pour une famille de vecteurs, c´est vrai, mais la plupart du temps, on calcule le déterminant d´une matrice...
tu le dis toi meme ^^

Dès qu´on parle de matrice, raisonner sur l´application linéaire associée semble utile.

Je l´ai fais dans le cas général, dans le cas d´un EV de dimension n.

Explique toi un peu mieux stp ^^

Intéressante comme langue

Oui, surement des extra terrestres

La démonstration la plus facile (du moins quand on connait la théorie qui traine autour) est celle qui fait appel aux applications linéaires associées aux matrices.

si tu veux le faire manuellement avec des matrices 3x3 ca devrait pas être bien compliqué, meme s´il y a beaucoup de termes, ce ne sont que des additions et des multiplications !

Matrice A =
[ A11 A12 A13 ]
[ A21 A22 A23 ]
[ A31 A32 A33 ]

Matrice B =
[ B11 B12 B13 ]
[ B21 B22 B23 ]
[ B31 B32 B33 ]

Matrice C = A*B =
[ C11 C12 C13 ]
[ C21 C22 C23 ]
[ C31 C32 C33 ]
avec
C11 = A11*B11 + A12*B21 + A13*B31
C12 = A11*B12 + A12*B22 + A13*B32
C13 = A11*B13 + A12*B23 + A13*B33
C21 = A21*B11 + A22*B21 + A23*B31
C22 = A21*B12 + A22*B22 + A23*B32
C23 = A21*B13 + A22*B23 + A23*B33
C31 = A31*B11 + A32*B21 + A33*B31
C32 = A31*B12 + A32*B22 + A33*B32
C33 = A31*B13 + A32*B23 + A33*B33

Le déterminant de A est
det(A) = A11*A22*A33 + A12*A23*A31 + A13*A21*A32 - A13*A22*A31 - A12*A21*A33 - A11*A23*A32

Le déterminant de B est
det(B) = B11*B22*B33 + B12*B23*B31 + B13*B21*B32 - B13*B22*B31 - B12*B21*B33 - B11*B23*B32

Le déterminant de C est
det(A) = C11*C22*C33 + C12*C23*C31 + C13*C21*C32 - C13*C22*C31 - C12*C21*C33 - C11*C23*C32

Il te suffit donc de développer au maximum chacune des deux expressions suivantes:

det(A*B) =

(A11*B11+A12*B21+A13*B31)*(A21*B12+A22*B22+A23*B32
)*(A31*B13+A32*B23+A33*B33) +
(A11*B12+A12*B22+A13*B32)*(A21*B13+A22*B23+A23*B33
)*(A31*B11+A32*B21+A33*B31) +
(A11*B13+A12*B23+A13*B33)*(A21*B11+A22*B21+A23*B31
)*(A31*B12+A32*B22+A33*B32) -
(A11*B13+A12*B23+A13*B33)*(A21*B12+A22*B22+A23*B32
)*(A31*B11+A32*B21+A33*B31) -
(A11*B12+A12*B22+A13*B32)*(A21*B11+A22*B21+A23*B31
)*(A31*B13+A32*B23+A33*B33) -
(A11*B11+A12*B21+A13*B31)*(A21*B13+A22*B23+A23*B33
)*(A31*B12+A32*B22+A33*B32)

det(A)*det(B) =

(A11*A22*A33+A12*A23*A31+A13*A21*A32-A13*A22*A31-A
12*A21*A33-A11*A23*A32) *
(B11*B22*B33+B12*B23*B31+B13*B21*B32-B13*B22*B31-B
12*B21*B33-B11*B23*B32)

Tu verras alors qu´il y a les même termes des deux côtés...

maintenant la même démo avec des matrices 40*40

La méthode de le_duche est la règle de sarrus, applicable uniquement avec une matrice carrée 3*3

c´est pas une méthode, ce n´est que des formule... si tu développe la réelle definition du déterminant (somme sur les permutations) tu obtiendra la meme chose !! !!!!

Et bien pour certains c´est une méthode et elle a un nom, on va pas polémiquer là dessus

Oui mais donner le nom du gars qui a trouvé comment calculer le déterminant d´une matrice 3*3 n´est pas franchement primordial dans cette démo...

mais la règle de sarrus c´est juste une méthode pour se souvenir du déterminant d´une matrice 3x3....

le duche c´est du développement ou est l´utlisation des applications linéaires?

Oui mais donner le nom du gars qui a trouvé comment calculer le déterminant d´une matrice 3*3 n´est pas franchement primordial dans cette démo...
=> Dans la vie on ne fait pas que les choses primordiales et puis, sur ce forum il existe peut-être des personnes qui sont curieuses et que ca interesse.

mais la règle de sarrus c´est juste une méthode pour se souvenir du déterminant d´une matrice 3x3....

=> et le_duche a utilisé une matrice 3*3

le duche c´est du développement ou est l´utlisation des applications linéaires?

lol heureusement qu´on développe pas ce truc pour une 40x40 sd...

toute facon je suis déjà sur un autre truc et je voudrais la confirmation d´une démo de gars qui ont la bosse des maths. la voici

a montrer t^(A^(-1))=(t^A)^(-1) où ^(-1) désigne l´inverse d´une matrice et t^ la transposée.

sachant que A^-1 = 1/det A *t^[(-1)^(i+j)Dij] où Dij est le déterminant obtenue en supprimant la ième ligne et la jième colonne de A on a

t^(A^-1) = t^[1/detA *t^[(-1)^(i+j) Dij]] = 1/detA*[(-1)^(i+j) Dij] = 1/detA *t^[t^[(-1)^(i+j)Dij]] = 1/detA *t^[(-1)^(i+j) Dji]

puisque Dji=D´ij où D´ij est le déterminant en supprimant la ième ligne et la jième ligne de t^A ET que det(A)=det(t^A)il vient

t^(A^-1)= 1/det(t^A) * t^[(-1)^(i+j)D´ij] = (t^A)^-1

voilà je voulais savoir ce que pensent les boss des maths démo valide ou pas? (dsl si c pas très lisible)

merci

je me rappelais meme pu que det(AB)=det(A)*det(B)

j´ai mes chances pour centrale paris ^^

84silver -> c´est assez moche présenté comme ca... J´y penserais plus tard ^^