Bonjour,

En attendant la création d´un possible forum dédié aux Maths (*), je poste un nouveau petit problème pour vous :

Soit a, b , c et d des entiers tels que a > b > c > d > 0.

On suppose que ac + bd = (b + d + a - c)(b + d - a + c)

Montrer que ab + cd n´est pas un nombre premier.

Ce n´est pas très difficle, juste un peu de technique et de réflexion

(*) J´ai fait la demande de création d´un forum Maths sur le forum Suggestions, en attendant l´approbation ou non des gérants N´hésitez pas à aller appuyer ma demande en insistant sur les intérêts d´une telle action, car nombreux sont les personnes (jeunes enfants) bornés se disant contre une telle création. Le topic s´appelle "[Sug] Création d´un nouveau forum", ou un truc dans le style posté par moi-même, Neorossi etant dékà venu et je l´en remercie.

Bonne chance !

Merci beaucoup à Viouthay et Mary

Aucune piste pour mon problème ?

Merci à Redparks et Chaos pour leur soutien

Toujours pas d´idée pour mon défi ?

De rien !
Désolé pour ton problème, mais pour moi nombres premiers = spé maths = relative allergie ^^
Même si je suis d´accord, ça n´a pas l´air très difficile

Bon j´vais proposer un truc (on sait jamais ;D )

bon, on part de
ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c), en développant et arrangeant un peu tout, on tombe sur :
ac+bd=(b+d)²+(a-c)(a+c), on en déduit que pour la forme ab+cd, on obtient
ab+cd=(c+d)²+(a-b)(a+b)
en développant et arrangeant, on tombe sur:
ab+cd=(c+d+a-b)(c+d-a+b)

on en déduit donc que ab+cd a au moins 1 diviseur autre que 1 et lui meme, il n´est donc pas premier .

En espérant que ca tienne la route ...

Très bien hormis une petite erreur de factorisation :

ac+bd=(b+d)²+(a-c)( - a+c)
Le "-" a été oublié

La suite peut tenir la route, mais la méthode est trop "locale", voici une solution me paraissant mieux :

Faisons l´hypothèse que (ab + cd) est un nombre premier.
Remarquons alors que : (ab + cd) = (a+d)c + (b-c)a. (égalité 1)

On connait le Théorème de Bachet-Bezout et on sait que pour deux entiers A et B , il existe deux entiers u et v tels que : PGCD(A , B) = uA + vB.
De plus, pour tout U et V entiers, (UA + VB) est un multiple de PGCD(A ,B).

L´égalité 1 permet alors de dire qu´il existe un entier m tel que :
(ab + cd) = m.PGCD(a+d , b-c) (égalité 2)

La question est donc résolue si on peut démontrer, dans l´égalité 2 que m et PGCD(a+d , b-c) sont tous les deux strictement supérieurs à 1.
Remarquons que ces deux entiers ne peuvent pas être nuls et qu´ils sont positifs.

Distinguons alors 2 cas:

• Cas 1: On a m = 1.

Dans ce cas, l´égalité 2: s´écrit : PGCD(a+d , b-c) = ab + cd.
Comme a > b > c > d > 0 , on a alors:
PGCD(a+d , b-c) > ab + cd - (a - b + c + d)
PGCD(a+d , b-c) > (a+d)(c-1) + (b-c)(a+1)
Or, (a+d)(c-1) + (b-c)(a+1) est un multiple de PGCD(a+d , b-c) et est > 0.
Il y a donc une contradiction.
On ne peut pas avoir m = 1.

• Cas 2: On a PGCD(a+d , b-c) = 1.

Dans ce cas, comme (ac + bd) = (a+d)b - (b-c)a , et que pour hypothèse, on a:
ac + bd = (b + d + a - c)(b + d - a + c), on peut écrire que :
(a+d)(a-c-d) = (b-c)(b+c+d) (égalité 3
Comme On a PGCD(a+d , b-c) = 1 , on peut dire que (a+d) et (b-c) sont premiers entre eux et donc, d´après l´égalité 3:, qu´il existe un entier k positif tel que
(a-c-d) = k(b-c) et (b+c+d) = k(a+d)
En faisant la somme de ces deux égalités, on obtient alors:
(a+b) = k(a+b-c+d) ce qui peut aussi s´écrire k(c-d) = (k-1)(a+b).
Or, on a: a > b > c > d > 0.
Si k = 1 , alors c = d . Ce qui est impossible.
Si k > 1 , alors on a:
k/(k-1)=(a+b)/(c-d)

Le premier terme de cette égalité est inférieur à 2.
Le second terme de cette égalité est strictement supérieur à 2.
Il y a donc une contradiction.
On ne peut donc pas avoir PGCD(a+d , b-c) = 1.

Conclusion:
On a (ab + cd) = m.PGCD(a+d , b-c) avec m et PGCD(a+d , b-c) entiers > 1.
L´entier (ab + cd) n´est donc pas un nombre premier.

C´est long vous allez me dire, mais c´est clairement démontré, et sans contestation possible.

Oula j´avais pas vu l´heure... Je vais me coucher

A bientot.

Je poserai un autre problème dès demain, je suis trop crevé maintenant

J´ai fait ca avec mes p´tits moyens ;)
Je ne connaissais pas ce théorème de Bachet-Bezout, on en apprend tout les jours ;D

C´est niveau spé math ça non ! Tu m´énerves c´est pas de mon niveau ^^

Je me demande si ces défis ne consistent pas seulement à lustrer ton ego 6600...

Montrer que 7 n´est pas un multiple de 3.

Supposons que 7 soit un multiple de 3, alors 7=3k avec k entier appartenant à Q, k=7/3, qui n´est pas un entier, donc 7 n´est pas un multiple de 3

Bon ok elle est bien nulle ma blague, je sens que je vais encore être le seul à rigoler

Bon moi j´ai un problème sérieux :

Supposons un satellite de masse m = 900kg en orbite géostationnaire autour de Vénus. Ce satellite accomplit un tour complet de la planète en 25.7 jours terrestres à une vitesse v.
Sur Terre, une expédition de mécaniciens doit venir faire la maintenance de ce satellite. Le voyage doit durer moins de deux ans et on supposera une trajectoire rectiligne.

Calculer la vitesse nécessaire à l´engin des mécaniciens pour respecter les délais de temps imparti et arriver pile au niveau du satellite de façon à pouvoir s´y amarrer.

Sans limite de temps, quelle serait la vitesse nécessaire à l´engin pour s´amarrer correctement au satellite (en conservant une trajectoire rectiligne) sachant qu´une comète de 1000 kilomètres de long doit passer entre l´engin et le satellite ?

Bien entendu, les vitesses énoncées doivent respecter les limites des théories physiques modernes.

Bonne chance, il m´a fallu trois heures

Tiens, toi aussi tu veux lustrer ton égo ?

Osef tas de nouille.

Il manque quelques infos à ton problème, non Chaos_Clad ?

Comme la distance terre-venus, l´écart angulaire initial entre (soleil,vénus) et (soleil,terre), la durée de rotation de vénus autour du Soleil ?

Et.. c´est de combien la vitesse limite d´un engin spatial ?

" La suite peut tenir la route, mais la méthode est trop "locale", voici une solution me paraissant mieux "

En attendant sa démonstration fait pas 4 pages, elle.. Enfin on peut préférer une démonstration compliquée et très longue à quelque chose de plus simple et plus compréhensible.

Sinon pour le problème de chaos, si on a pas de distance terre vénus ça me parait déjà compliqué, la réparation elle est instantanée ou ils réparent le satellite, attendent jusqu´a ce que le satellite aie fait son tour, puis repartent dans le sens inverse pour retourner sur Terre ?
C´est assez compliqué quand même.

Merci à tous pour votre soutien, on excusera tous Watza, c´était plus fort que lui de s´opposer au projet

Je ne suis pas là pour flatter mon égo enfin si un peu quand même mais plutôt pour lancer des défis mathématiques sympas : énoncés courts mais subtils

"Enfin on peut préférer une démonstration compliquée et très longue à quelque chose de plus simple et plus compréhensible." => Il ne s´est pas servi d´une hypothèse de l´énoncé Ma solution est, bien que plus longue, incontestable

Sinon pour ton problème Chaos, il manque certains éléments, et quelques imprécisions (la comète par exemple) Assez compliqué en effet, problème trop physique pour moi

Et désolé pour l´abus de smiley

Merci à tous pour votre soutien, on excusera tous Watza, c´était plus fort que lui de s´opposer au projet

? Ok.

On te pardonne