Soient E un K-EV de dimension finie n, u dans L(E), et P indice u son polynôme caractéristique.
Le but du problème est de démontrer que pour tout x dans E, P indice u (u)(x)=0

On fixe donc x dans E privé de 0

Montrer que la famille (u exposant k (x)) k sup ou = à 0 et inf ou = à n, est liée.

Je suppose qu´il existe lambda 0,..., lambda n tels que la somme de k=0 à n des lambda i u exposant i (x) =0 (je voudrais démontrer par l´absurde qu´elle n´est pas libre)

mais ensuite je fais quoi parce que j´ai pas d´infos sur u ?
je passe par le polynôme caractéristique ?

[raclette] ?
redsparks ?
tantale ?
jarosze ?

c´est une famille de n+1 vecteurs dans un espace de dimension n.
peut pas etre libre.

et moi qui partais comme un bourrin sur les lambda ^^
merci encore !

pour prouver que F est stable par u, on prend un X dans F et on montre que u(X) est aussi dans F non ?

F=Vect(x,u(x),...,u exposant p (x)) où p est le plus petit entier tel que la famille des u exposant k (x) soit libre

soit X dans F
u(X)=Vect(u(x),uou(x),...,u exposant p+1 (x)) ?

redsparks t´es là ?

c´est ça.
maintenant tu dis que si p est le plus GRAND (je suppose) entier tel que (u^k(x))1=<k=<p est libre, alors (u^k(x)) pour 1=<k=<p+1 est liée, donc u^(p+1)(x) est combinaison linéaire des vecteurs de ta premiere famille.
et donc l´image de ta base de F (x,u(x),..,u^p(x)) appartient encore à F, donc u stabilise F.

non sur l´énoncé c´est bien marqué le plus petit et je trouve ca normal: si t´as une famille liée de x vecteurs, pour obtenir une famille libre à partir de cette famille t´es obligé d´enlever des vectreurs, pas d´en rajouté...
enfin c´est ce que je pense

sinon ca veut dire quoi (u^k(x))1=<k ?

et à la fin, c´est pas plutôt l´image de ta base de F (x,u(x),..,u^(p+1)(x)) appartient ecore à F, donc u stabilise F ?

et sinon u(X)=Vect(u(x),uou(x),...,u^(p+1)(x)) c´est correct ou pas ?

Ce que tu dis n´a pas de sens. Si X est dans F alors u(X) est un vecteur de E et non un espace vectoriel !! !

Sinon voici comment prouver que F est stable :

u(F) est inclus dans F si l´image par u de chacun des générateurs de F est dans F. Or F est engendré par x, u(x),...,u^{p}(x) et on a :
u(x) dans F, u(u(x)) dans F,...,u(u^{p-1}(x)) dans F.
Il reste danc a vérifier que u(u^{p}(x))=u^{p+1}(x) est dans F mais par définition de p, la famille
{ x,u(x),..,u^{p+1}(x) } est liée donc il existe
a_{0},..,a_{p} des scalaires tels que :

u^{p+1}(x)=a_{0}x + a_{2}u(x) + ... + a_{p}u^{p}(x)

donc u^{p+1} est dans F.

Je me renseigne avant de sortir des conneries (juste questions de notations)
un K-EV c´est bien un Espace Vectoriel sur un corps K ?
c´est quoi L(E) ? les application linéraire ?

et le problème c´est bien

pour tout x dans E, pour tout Pu dans L(E), u(x)=0

?

puis

montrer que {u^k(x)|0<=k<=n} est liée

?

C´est quoi une partie liées ?

(j´ai juste des problème de compatibilité de définitions avec vous... )

:allo?:

pour le_duche :

oui un K-ev est une Espace Vectoriel sur un corps K.

oui L(E) est l´ensemble des applications linéaires de E dans E.

Non le problème est de montrer que pour tout u dans L(E) alors le polynome caractéristique de u appliqué à u est l´endomorphisme nul.

Non, la question intermédiaire à montrer est que pour tout x dans E, le sous espace vectoriel engendré par x, u(x), .., u^{p}(x) est stable par u ou p est le plus grand entier k tel que la famille x, u(x), .. ,u^{k}(x) est libre.

Une famille est dite liée si elle n´est pas libre.

un K-ev c´est un bien un espace vectoriel sur K

L(E) c´est l´ensemble des endomorphisme de E

rhaaaa c´est un peu chaud tel quel (j´ai pas le net chez moi, donc pas mon cours d´algèbre avec, et sur ma carte d´identité, c´est pas marqué MAXTOR, alors là j´ai un peu de mal...)

T´as besoinde ca pour quand ?

Les notations que j´utilise à la fac sont en fait:

ENDn(K) l´ensemble des application linéaires d´un espace vect V sur K.
C indice u le polyn. caractéristique
et on parle de partie non-libre et pas de partie liée...

(chuis en Belgique)

t es ou en Belgique ?

Bruxelles > ULB > faculté des sciences > département math > permière license > orientation statistique > argh!

c´est pour lundi mais bon j´ai ds de chimie (4h) le samedi, colle de maths et chimie lundi soit 9h de cours, dss d´allemand et d´anglais mardi (2x2h donc 4h au total), le sujet de CCP 2005 sur l´ascenseur spatial en physique pour mercrdi en dm et pour terminer, tpe jeudi sur je sais pas encore quoi vu que la prof a paumé mon sujet

PS: si qq1 l´a passé le CCP pour l´ascenseur, je suis intéressé ^^

PPS: pour pieronorman, définition d´un sous espace stable par un endomorphisme: soit u un endomorphisme de E et F un sous espace vectoriel de E.
On dit que F est stable par u si: pour tout x dans F, u(x) est dans F