F est stable par u si et seulement si pour toute famille génératrice (v_{1},...,v_{k}) de F on a u(v_{i}) est dans F pour tout i.

En effet, si F est stable par u on a bien u(v_{i}) dans F comme v_{i} est dans F (en utilisant ta définition).

Réciproquement, supposons que pour tout i, u(v_{i}) est dans F. Alors soit x dans F, comme { v_{1},...,v_{k} } est génératrice, il existe a_{1},...,a_{k} des scalaires tels que
x = a_{1}v_{1} + ... + a_{k}v_{k}

donc,

u(x)=a_{1}u(v_{1}) + ... + a_{k}u(v_{k})

comme u(x) est une combinaison linéaires d´éléments de F on déduit que u(x) est dans F.

Donc la définition que j´utilise est bien équivalente à celle que tu connais.

excuse moi j´ai cru que tu parlais de la définition d´un SEV stable par un endomorphisme quand tu disais que j´aivais faux ^^
donc u(X) est différent de Vect(u(x),...,u^(p+1)(x)) si je prend X dans F ?

La meme preuve montre que F est stable par u si et seulement si il existe une famille génératrice { v_{1},...,v_{k} } de F tel que u(v_{i}) est dans F pour tout i.

En fait c´est cette caractérisation de la stabilité que j´utilise.

si tu prend X dans F, X est en particulier un vecteur dans E
et u(X) est encore un vecteur dans E, i.e. un élément de E. mais Vect<u(X),...,u^{p+1}(x)> est un sous ev de E et non un élément de E !! Donc cette égalité n´a pas de sens .

Tu as compris pourquoi ca n´as pas de sens ?

si on rapporte ca à de la physique je dirais une erreur de dimension non ?
un SEV n´est pas élément de E, ok

pour dire que u^(p+1)(x) est dans F, tu dis qu´il est combinaison linéaire des autres vecteurs c´est ca ?

C´est ca oui, il est combinaisons linéaires de vecteurs qui sont dans F par hypothèse.

Au fait, tu as du corriger toi meme, mais dans la dernière ligne il fallait lire u^{p+1}(x) et non u^{p+1}

le plus petit entier p tel qu´une famille soit une libre, ca serait 1.
je pense vraiment que ca doit etre le plus grand.

sinon (u(x))1=<k=<p ca veut dire la famille des puissance de u(x) pour k compris entre 1 et p.

p peut être défini de deux façons équivalentes :

1) Comme le dis raclette, c´est le plus grand entier tel que la famille soit libre.

2) Ou bien c´est p+1 que l´on défini comme le plus petit entier tel que la famille soit liée.

un endomorphisme v, endomorphisme induit de u sur F, ca veut dire quoi "concrètement" (on a marqué 2 lignes dessus en cours et je vois pas trop ce que c´est)

je vous embête pas trop avec mes questions ? ^^

Un endomorphisme u sur un e.v. E est une application linéaire de E dans E.
Dire que F est un sev de E stable par u signifie que u(F) est inclus dans F (ie l´image par u de tout vecteur de F est encore un vecteur de F).
Ainsi l´application suivante :
v : F -> E
x -> u(x)
est en fait à valeur dans F :
v : F -> F
x -> u(x)

C´est une application linéaire (car u est linéaire) définie sur F et à valeurs dans F, c´est-à-dire un endomorphisme de F. C´est cet endomorphisme qu´on appelle l´endomorphisme induit par u sur F.
J´espère avoir été assez clair...

donc en fait c´est juste v inclus dans L(F) ?

non ?

ou oui ?

re

Ca dépend de ce que tu entends par "c´est juste v inclus dans L(F)".
Déjà, si x est un élément d´un ensemble E, on dit que x appartient à E, c´est une partie de l´ensemble qui est incluse dans l´ensemble. (Ainsi 5 appartient à N et {1;2;3;4;5} est inclus dans N ).
Ensuite l´endomorphisme induit par u sur un sev stable F appartient bien à L(F). Mais un endomorphisme de F (sev de E) ne s´étend pas de manière unique sur E.

et pour écrire la matrice de v dans la base B de F je fais comment ?
B=(x,u(x),...(u^p (x))

ok merci tantale
et pour l´écriture de la matrice de v dans B c´est quoi la méthode ?

tu regardes l´image par u des vecteurs de ta base, et tu les mets dans le tableau.