Je savais que j'allais te manquer Dowie, voilà pour toi quelques petits exos faciles
( Première tof = petit rappel )

Pour mercredi ça te va ?

Vakus
Ah oui pardon, ça sent l'erreur de signe en effet
Mais je pense que si t'as bien compris la méthode y a pas de problème

Le 2 par contre j'ai eu beau retourner l'expression dans tous les sens j'ai pas trouvé de truc intéressant..

Oui, j'ai réussi à faire la suite en changeant de signes.
J'vais essayer de me débrouiller avec la 2, quitte à faire un début d'exercice et de dire que j'ai été bloqué.

Tsotsue
Je te les fais mais essaye de lire attentivement pour tout comprendre, c'est vraiment un truc important

Exercice 1:
1) il suffit
2) il faut
3) il suffit
4) il faut

Exercice 2:
1)
On a AR = AP = x
AR >=0 donc x>=0
P appartient à [AD] donc x=AP =< AD = 6
R appartient à [AB] donc x=AR =< AB = 10

On en déduit que x appartient à [0;6]

2)
On note M l'intersection de (PQ) et (CB)
(PQ) est perpendiculaire à (AP) car ARQP est un carré donc (QM) est perpendiculaire à (AD) car M appartient à (PQ) et P appartient à (AD).

Par conséquent (QM) est perpendiculaire à (BC) car (BC) et (AD) sont parallèles étant donné que ABCD est un rectangle.

On en déduit que (QM) est perpendiculaire à (CM) donc CQM est rectangle en M.

L'aire de CQM vaut donc:
CM * QM / 2

CM = AP = AD - AP = 6-x
QM = RB = 10 -x

L'aire de CQM vaut donc:
(6-x)*(10-x)/2

QMBR est un rectangle son aire vaut donc:
QR*RB = x*(10-x)

L'aire du trapèze est la somme de ces deux aires:
x(10-x) + (6-x)*(10-x)/2
= 10x - x^2 + 30 - 3x - 5x + x^2/2
= -x^2/2 +2x + 30

3)
-x^2/2 + 2x + 30
= -(1/2) * (x^2 -4x - 60)
= -(1/2) * ( (x-2)^2 - 64 )
= -1/2 * (x-2)^2 + 32

Pour tout x appartenant à [0;6]
(x-2)^2 >=0
donc
-1/2(x-2)^2 =<0

d'où -1/2*(x-2)^2 + 32 =< 32
Or pour x=2, cette valeur vaut 32

L'aire maximale est donc atteinte pour x=2 et vaut 32.

4)
L'aire de ARQP vaut x^2
On veut donc
x^2 = -x^2/2 + 2x + 30
<=> x^2/2 + 2x + 30 = 0
<=> 1/2 * ( x^2 + 4x + 60) = 0
<=> 1/2 * ( (x +2)^2 + 56) = 0
<=> 1/2(x+2)^2 + 28 = 0

Or 1/2(x+2)^2 >=0
donc 1/2(x+2)^2 + 28 >=28 >0

Il n'existe donc pas de valeur de x qui donne l'égalité.

Exercice 3:
On note L la longueur du grand morceau.
On a 1/L = L/(L+1)

1/L = L/(L+1)
<=> L+1 = L^2
<=> L^2 - L - 1 = 0
<=> (L-1/2) - 5/4 = 0
<=> (L-1/2 - V5/2) (L - 1/2 + V5/2) = 0
<=> L = 1/2 + V5/2 car L>=0

( c'est le nombre d'or)

124)
On pose X = cos(X)
On obtient 2X^2 + 9X + 4 = 0
Le discriminant vaut : 81 - 32 = 49
Les racines sont donc:
-9/4 + 7/4 = 1/2
-9/4 - 7/4 = -4

On doit donc résoudre
cos(x) = 1/2 Ou cos(x) = -4

Cela équivaut à cos(x) = 1/2 car cos(x)>=-1 sur R
cos(x) = 1/2
<=> x = Pi/3 + 2kPi ou x = -Pi/3 + 2kPi avec k dans Z

2)
On pose X = sin(x)
On doit résoudre:
4X^2 - 2(1+V3) X + V3 = 0
Or
4X^2 - 2(1+V3)X + V3
= 4X^2 - 2X - 2V3X + V3
= 2X*2X - 2X*V3 - 2X + V3
= 2X*(2X-V3) - (2X-V3)
= (2X-V3)(2X-1)

Par conséquent les racines sont X = V3/2 et X = 1/2
On doit donc avoir
sin(x) = V3/2 Ou sin(x) = 1/2
Cela donne
x = Pi/6 + 2kPi Ou 5Pi/6 + 2kPi Ou Pi/3 + 2kPi Ou 2Pi/3 + 2kPi avec k dans Z

Vakus En fait je viens de trouver, c'est pas très dur

sin2x + cos2x = V2*sin x
<=> V2/2 * (sin(2x) + cos(2x) ) = sin(x)
<=> cos(2x - Pi/4) = sin(x)
<=> cos(2x - Pi/4) = cos(x - Pi/2)
<=> 2x - Pi/4 = x-Pi/2 + 2kPi OU 2x - Pi/4 = Pi/2 - x + 2kPi , k dans Z
<=> x = -Pi/4 + 2kPi Ou x = Pi/4 + 2kPi/3

Super, encore merci! Ton niveau est impressionnant, tu fais des études axées sur les maths ?

Ok merci, t'inquiète je vais le faire
Mais quand nous révéleras-tu tes secrets ?

bonsoir Dowie,
pour la question 1 que tu m'as dis de faire le calcul
je dois faire Sn et Vn jusqu'a 20 ?
c'est a dire S1,S2,S3...S20..
je m'arrete a 20 ?

et dis moi si c'est bon j'ai calculé
je trouve
V1 = 1 , V2 = 3 , V3 = 6 , V4 = 10 , V5 = 15 , V6 = 21 , V7 = 28, V8 = 36 , V9 = 45 , V10 =55 , V11 = 66 , V12=78, V13=91, V14=105, V15=120, V16=136, V17=153, V18 = 171, V19= 190 et V20 = 210

ensuite S1 = 1 , S2 = 9 , S3 = 36 , S4 = 100, S5 = 225 , S6 = 441 , S7 = 784, S8 = 1296, S9 = 2025 , S10 = 3025 , S11=4356, S12 =6084, S13=8281, S14 = 11 025 , S15= 14 400, S16= 18 496 , S17=23 409, S18 = 29 241, S19=36 100 et S20 = 44 100

Est ce bon et dois je justifier les calculs ou juste mettre les résultats (compte tenu de la question).?

je m'arrete a 20 ou a 19 car y a écrit 1<=n<=20

Dowie a la derniere question tu as mis sa :

Hérédité
Soit n appartenant à N*
On suppose que Sn = n^2(n+1)^2/4
S(n+1)
= n^2(n+1)^2/4 + (n+1)^3
= (n+1)^2 * (n^2/4 + n+1)
= (n+1)^2 * ( (n/2)^2 + 2*n/2 * 1 + 1)
= (n+1)^2 * (n/2 + 1)^2
= (n+1)^2 * (n + 2)^2 / 4

La propriété est donc héréditaire.

Tu as pas écris que tu veux montrer que Sn est vraie a l'ordre n+1 et ce que sa donnait donc ca me perturbe

car la au final t'obtiens un résultat et tu dis que c est héréditaire mais je comprends pas pourquoi car ta pas mis le truc d origine

Clara morgane A POIL ->> http://bit.ly/1bFps2j

runinho
Tu t'arrêtes à 20 vu qu'il y a un '='
Sinon pour le reste:
On veut montrer que la propriété est vraie au rang n+1
Du coup on veut montrer que S(n+1) = (n+1)^2(n+2)^2/4

J'ai peut-être pas assez détaillé mais ça me semblait clair.

Jerry de vous

Un jour si j'ai besoin, je serai où venir

Pourquoi gigafake?

Ame charitable pour explication des exos 1 et 2, s'il vous plait !

Exercice 1:
1)
On montre par récurrence que pour tout n appartenant à N
Un=/=1

Initialisation :
U0 = 2 =/=1 : vrai au rang 0

Hérédité:
Soit n appartenant à N
On suppose que Un=/=1

alors
U(n+1) = (5Un-1)/(Un+3)
Pour que U(n+1)=1
il faut
5Un - 1 = Un + 3 cad Un = 1

Par conséquent, la propriété Un=/=1 est héréditaire.

La propriété est héréditaire et vraie au rang 0 donc d'après le principe de récurrence elle est vraie pour tout n appartenant à N

2)
a)
Soit n appartenant à N
V(n+1) = 1/(U(n+1)-1)
= 1/((5Un - 1)/(Un+3) - 1)
= (Un+3)/(5Un-1 - Un - 3)
= (Un+3)/(4Un - 4)
= (4 + Un-1)/(4Un-4)
= 4/(4Un-4) + (Un-1)/(4Un-4)
= 1/(Un-1) + 1/4 = Vn + 1/4

donc (Vn) est une suite arithmétique de raison 1/4 et de premier terme V0=1/(U0-1) = 1

b)
Soit n appartenant à N
(Vn) suite géométrique de raison 1/4 et de premier terme 1/2
donc
Vn = 1 + n/4
Or
Vn = 1/(Un-1) d'où Un-1 = 1/Vn soit encore Un = 1/Vn + 1

On en déduit que
Un = 1/(1 + n/4) + 1
= 4/(4+n) + 1
= (8+n)/(4+n)

c)
Vn = 1 + n/4 donc lim Vn = +oo
Un = 1/Vn + 1
donc lim Un = 1

Exercice 2:
1)
On montre par récurrence que pour tout n appartenant à N on a:
1<Un <3

Initialisation :
1<U0 = 2 <3

Hérédité:
Soit n appartenant à N
On suppose que 1<Un<3

U(n+1) = (5Un-3)/(Un+1)

Par conséquent
U(n+1) > 4/ = 1

U(n+1) - Un = (5Un-3)/(Un+1) - Un
= (5Un-3 - Un^2 - Un)/(Un+1)

-Un^2 + 4Un - 3
= -Un^2 + 4Un - 4 + 4 - 3
= -(Un-2)^2 + 1
= 1 - (Un-2)^2
= (1 - Un + 2) ( 1 + Un - 2)
= - (Un-3)(Un-1)
Les racines sont donc 1 et 3

Par conséquent -Un^2 + 4Un-2 >0
d'où U(n+1) > Un >1

U(n+1)
= (5Un-3)/(Un+1)
= (5Un + 5 - 8)/(Un+1)
= 5 - 8/(Un+1)
< 5 - 8/(3+1) = 5-2 = 3

La propriété est donc héréditaire.

La propriété est héréditaire et vraie pour U0 = 2, elle est donc vraie pour tout n appartenant à N, d'après le principe de récurrence.

( putain j'ai galéré je me suis rendu compte super tard que c'était pas la même suite que dans le 1 )

2)
a)
Soit n appartenant à N*
V(n+1) = (U(n+1)-3)/(U(n+1)-1)
= ((5Un-3)/(Un+1) - 3 ) /(( 5Un-3)/(Un+1) - 1)
= ( (2Un-6)/(Un+1) ) / ( 4Un-4)/(Un+1) )
= (2Un-6)/(4Un-4)
= (1/2 ) * (Un-3)/(Un-1)

Par conséquent (Vn) est une suite géométrique de raison 1/2 et de premier terme V0 = -1

b)
Soit n appartenant à N
(Vn) suite géométrique de raison 2 et de premier terme -1
donc
Vn = -(1/2)^n

Vn = (Un-3)/(Un-1)
donc
(Un-1)Vn - Un + 3 = 0
Un(Vn - 1) = Vn - 3
donc
Un = (Vn-3)/(Vn-1)
Par conséquent
Un = (-(1/2)^n - 3)/(-1/2^n - 1)
= (1/2^n + 3)/(1/2^n + 1)

c)
Vn = -1/2^n
donc lim Vn = 0 car -1<1/2<1

lim 3+ 1/2^n = 3
lim 1 + 1/2^n = 1
par quotient de limite
lim Un = 3

2x349 ?

J'ai préco 2 épées là.

Trop dur Frozky