Le 29 août 2026 à 13:30:48 :
Un exemple simple sans charabia (j'suis nul en maths)
prend que les nombres pairs
Bah t'en une infinité
Maintenant prend les nombres entiers
Bah t'en a une infinité aussi, mais l'un est plus "grand" que l'autre

Ça a l'avantage d'être intuitif, mais à rigoureusement parler, les deux ensembles sont aussi grands l'un que l'autre. Celui des entiers est en revanche plus "dense" que l'autre.
Pour la grandeur, le critère est bien celui de la dénombrabilité, comme expliqué ci-dessus par de nb kheys

Le 29 août 2026 à 13:37:24 :

Le 29 août 2026 à 13:30:48 :
Un exemple simple sans charabia (j'suis nul en maths)
prend que les nombres pairs
Bah t'en une infinité
Maintenant prend les nombres entiers
Bah t'en a une infinité aussi, mais l'un est plus "grand" que l'autre

Ça a l'avantage d'être intuitif, mais à rigoureusement parler, les deux ensembles sont aussi grands l'un que l'autre. Celui des entiers est en revanche plus "dense" que l'autre.
Pour la grandeur, le critère est bien celui de la dénombrabilité, comme expliqué ci-dessus par de nb kheys

On peut parler de la densité au sens de la théorie des nombres

La « taille » d'un sous-ensemble A de N est définie comme :

lim (quand n -> +oo) de 1/n * (nombre d'éléments de A < n)

Ce qui correspond à la « probabilité » de tirer un élément de A quand on choisit au hasard et « uniformément » un entier naturel.

Avec cette notion de taille, les entiers pairs représentent 50% des entiers naturels. Et de façon plus surprenante, les nombres premiers représentent 0% des entiers naturels (c'est une conséquence du théorème des nombres premiers [1]) et c'est en ce sens que les nombres premiers sont « rares »

[1] car 1/n * (nombre de nombres premiers < n) est de l'ordre de 1/log(n) pour n grand, donc ça tend vers 0 quand n -> +oo

Le 29 août 2026 à 13:46:38 :

Le 29 août 2026 à 13:37:24 :

Le 29 août 2026 à 13:30:48 :
Un exemple simple sans charabia (j'suis nul en maths)
prend que les nombres pairs
Bah t'en une infinité
Maintenant prend les nombres entiers
Bah t'en a une infinité aussi, mais l'un est plus "grand" que l'autre

Ça a l'avantage d'être intuitif, mais à rigoureusement parler, les deux ensembles sont aussi grands l'un que l'autre. Celui des entiers est en revanche plus "dense" que l'autre.
Pour la grandeur, le critère est bien celui de la dénombrabilité, comme expliqué ci-dessus par de nb kheys

On peut parler de la densité au sens de la théorie des nombres

La « taille » d'un sous-ensemble A de N est définie comme :

lim (quand n -> +oo) de 1/n * (nombre d'éléments de A < n)

Ce qui correspond à la « probabilité » de tirer un élément de A quand on choisit au hasard et « uniformément » un entier naturel.

Avec cette notion de taille, les entiers pairs représentent 50% des entiers naturels. Et de façon plus surprenante, les nombres premiers représentent 0% des entiers naturels (c'est une conséquence du théorème des nombres premiers [1]) et c'est en ce sens que les nombres premiers sont « rares »

[1] car 1/n * (nombre de nombres premiers < n) est de l'ordre de 1/log(n) pour n grand, donc ça tend vers 0 quand n -> +oo

Merci pour ta réponse ! Infiniment plus détaillée et finalement plus rigoureuse que la mienne (et j'avoue que je ne connaissais pas cette csq du théorème des nb premiers). C'est vrai que la densité est normalement une propriété d'un ensemble par rapport à un espace de référence. Donc : si N est plus dense que l'ensemble des pairs, c'est relativement à N toujours. Ou bien : Les nombres pairs ont une densité naturelle de 1/2 parmi les entiers naturels.

Le 29 août 2026 à 13:58:13 :
Il n’existe pas une infinité, mais une prolifération sans fin d’infinis. À chaque infinité correspond la possibilité d’en concevoir une plus grande. Certaines sont dénombrables, d’autres ne le sont pas ; et aucune ne constitue le dernier infini.

Cantor a ouvert la boîte de Pandore (faut être Hilbert pour y voir un "paradis"). Une hiérarchie indéfiniment ascendante de cardinalités infinies, sans dernier cardinal....

Il n'y a que le 0 qui représente le néant qui n'est pas infini.

Le 29 août 2026 à 14:02:28 :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_ensembles

Le 29 août 2026 à 14:02:28 :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_ensembles

Oui, mais l'op. veut une explication simple

Le 29 août 2026 à 14:00:45 :

Le 29 août 2026 à 13:58:13 :
Il n’existe pas une infinité, mais une prolifération sans fin d’infinis. À chaque infinité correspond la possibilité d’en concevoir une plus grande. Certaines sont dénombrables, d’autres ne le sont pas ; et aucune ne constitue le dernier infini.

Cantor a ouvert la boîte de Pandore (faut être Hilbert pour y voir un "paradis"). Une hiérarchie indéfiniment ascendante de cardinalités infinies, sans dernier cardinal....

Le paradis pour Hilbert, c'était plutôt la théorie des ensembles qui est un langage suffisamment expressif pour écrire (quasi) toutes les mathématiques

À part les fous du bus qui font de la théorie des catégories ou de la logique, l'écrasante majorité des mathématiciens se contentent de la théorie des ensembles

Le 29 août 2026 à 14:13:00 :

Le 29 août 2026 à 14:00:45 :

Le 29 août 2026 à 13:58:13 :
Il n’existe pas une infinité, mais une prolifération sans fin d’infinis. À chaque infinité correspond la possibilité d’en concevoir une plus grande. Certaines sont dénombrables, d’autres ne le sont pas ; et aucune ne constitue le dernier infini.

Cantor a ouvert la boîte de Pandore (faut être Hilbert pour y voir un "paradis"). Une hiérarchie indéfiniment ascendante de cardinalités infinies, sans dernier cardinal....

Le paradis pour Hilbert, c'était plutôt la théorie des ensembles qui est un langage suffisamment expressif pour écrire (quasi) toutes les mathématiques

À part les fous du bus qui font de la théorie des catégories ou de la logique, l'écrasante majorité des mathématiciens se contentent de la théorie des ensembles

L'ensemble de tous les ensembles, il existe ?

Le 29 août 2026 à 14:19:56 :

Le 29 août 2026 à 14:13:00 :

Le 29 août 2026 à 14:00:45 :

Le 29 août 2026 à 13:58:13 :
Il n’existe pas une infinité, mais une prolifération sans fin d’infinis. À chaque infinité correspond la possibilité d’en concevoir une plus grande. Certaines sont dénombrables, d’autres ne le sont pas ; et aucune ne constitue le dernier infini.

Cantor a ouvert la boîte de Pandore (faut être Hilbert pour y voir un "paradis"). Une hiérarchie indéfiniment ascendante de cardinalités infinies, sans dernier cardinal....

Le paradis pour Hilbert, c'était plutôt la théorie des ensembles qui est un langage suffisamment expressif pour écrire (quasi) toutes les mathématiques

À part les fous du bus qui font de la théorie des catégories ou de la logique, l'écrasante majorité des mathématiciens se contentent de la théorie des ensembles

L'ensemble de tous les ensembles, il existe ?

Non, c'est une classe propre

Le 29 août 2026 à 14:13:00 :

Le 29 août 2026 à 14:00:45 :

Le 29 août 2026 à 13:58:13 :
Il n’existe pas une infinité, mais une prolifération sans fin d’infinis. À chaque infinité correspond la possibilité d’en concevoir une plus grande. Certaines sont dénombrables, d’autres ne le sont pas ; et aucune ne constitue le dernier infini.

Cantor a ouvert la boîte de Pandore (faut être Hilbert pour y voir un "paradis"). Une hiérarchie indéfiniment ascendante de cardinalités infinies, sans dernier cardinal....

Le paradis pour Hilbert, c'était plutôt la théorie des ensembles qui est un langage suffisamment expressif pour écrire (quasi) toutes les mathématiques

À part les fous du bus qui font de la théorie des catégories ou de la logique, l'écrasante majorité des mathématiciens se contentent de la théorie des ensembles

Diable, faut être un fou du bus pour travailler sur la théorie des catégories ?
Et de mémoire, Hilbert songeait bien aussi aux transfinis, qu'il défendait contre les intuitionistes (même s'il les tenait pour des Fictions, mais des fictions paradisiaques quand même !)

Le 29 août 2026 à 14:24:52 :

Le 29 août 2026 à 14:19:56 :

Le 29 août 2026 à 14:13:00 :

Le 29 août 2026 à 14:00:45 :

Le 29 août 2026 à 13:58:13 :
Il n’existe pas une infinité, mais une prolifération sans fin d’infinis. À chaque infinité correspond la possibilité d’en concevoir une plus grande. Certaines sont dénombrables, d’autres ne le sont pas ; et aucune ne constitue le dernier infini.

Cantor a ouvert la boîte de Pandore (faut être Hilbert pour y voir un "paradis"). Une hiérarchie indéfiniment ascendante de cardinalités infinies, sans dernier cardinal....

Le paradis pour Hilbert, c'était plutôt la théorie des ensembles qui est un langage suffisamment expressif pour écrire (quasi) toutes les mathématiques

À part les fous du bus qui font de la théorie des catégories ou de la logique, l'écrasante majorité des mathématiciens se contentent de la théorie des ensembles

L'ensemble de tous les ensembles, il existe ?

Pas moins ni d'avantage que le néant, ils sont en tant que concept et en tant que mots, mais il ne sont pas en tant que réaliter physique de ce que le concept essaie de dire.

En gros, placé l'ensemble de tout les ensemble dans une phrase c'est déjà le réduire et nous ne parlons alors déjà plus de celui dont nous entendions pourtant parler en cherchant à le faire, dire le néant, c'est déja le remplir en lui donnant sens, il n'est donc pas néant.

La question relève d'avantage d'après moi de classification, de philosophie que de skill mathématique pur, voilà sûrement pourquoi elle cause tant de probleme.

C'est pour cela que Russell a traité ce problème en philosophe plutôt qu'en mathématicien

Le 29 août 2026 à 14:24:52 :

Le 29 août 2026 à 14:19:56 :

Le 29 août 2026 à 14:13:00 :

Le 29 août 2026 à 14:00:45 :

Le 29 août 2026 à 13:58:13 :
Il n’existe pas une infinité, mais une prolifération sans fin d’infinis. À chaque infinité correspond la possibilité d’en concevoir une plus grande. Certaines sont dénombrables, d’autres ne le sont pas ; et aucune ne constitue le dernier infini.

Cantor a ouvert la boîte de Pandore (faut être Hilbert pour y voir un "paradis"). Une hiérarchie indéfiniment ascendante de cardinalités infinies, sans dernier cardinal....

Le paradis pour Hilbert, c'était plutôt la théorie des ensembles qui est un langage suffisamment expressif pour écrire (quasi) toutes les mathématiques

À part les fous du bus qui font de la théorie des catégories ou de la logique, l'écrasante majorité des mathématiciens se contentent de la théorie des ensembles

L'ensemble de tous les ensembles, il existe ?

Pas moins ni d'avantage que le néant, ils sont en tant que concept et en tant que mots, mais il ne sont pas en tant que réaliter physique de ce que le concept essaie de dire.

En gros, placé l'ensemble de tout les ensemble dans une phrase c'est déjà le réduire et nous ne parlons alors déjà plus de celui dont nous entendions pourtant parler en cherchant à le faire, dire le néant, c'est déja le remplir en lui donnant sens, il n'est donc pas néant.

La question relève d'avantage d'après moi de classification, de philosophie que de skill mathématique pur, voilà sûrement pourquoi elle cause tant de probleme.

Oui c'est effectivement une question philosophique qui est ou a été débattue. On peut se demander si toute chose existe par le fait même qu'on l'énonce donc ici je peux dire que l'ensemble de tous les ensembles existe parce que je le nomme. Ou bien une chose existe si et seulement si on peut démontrer son existence et là on revient à la crise des mathématiques du début du XX siècle où la question d'un ensemble contenant uniquement les ensembles qui ne se contiennent pas eux même ne peut exister par paradoxe. Cf Bertrand Russel par exemple pour plus de détails.

Je pense que pour sentir la différence de grandeurs entre deux infinis, l'argument diagonale est la façon la plus simple

Le 29 août 2026 à 13:30:48 :
Un exemple simple sans charabia (j'suis nul en maths)
prend que les nombres pairs
Bah t'en une infinité
Maintenant prend les nombres entiers
Bah t'en a une infinité aussi, mais l'un est plus "grand" que l'autre

Pas du tout. Voir mon poste.

1/9 = 0.1111111111111111111111.....
2/9 = 0.2222222222222222222222.....

Deux infinis qui ne sont pas les mêmes.

A moi les médaillent Fieldsent

Le 29 août 2026 à 14:19:56 :

Le 29 août 2026 à 14:13:00 :

Le 29 août 2026 à 14:00:45 :

Le 29 août 2026 à 13:58:13 :
Il n’existe pas une infinité, mais une prolifération sans fin d’infinis. À chaque infinité correspond la possibilité d’en concevoir une plus grande. Certaines sont dénombrables, d’autres ne le sont pas ; et aucune ne constitue le dernier infini.

Cantor a ouvert la boîte de Pandore (faut être Hilbert pour y voir un "paradis"). Une hiérarchie indéfiniment ascendante de cardinalités infinies, sans dernier cardinal....

Le paradis pour Hilbert, c'était plutôt la théorie des ensembles qui est un langage suffisamment expressif pour écrire (quasi) toutes les mathématiques

À part les fous du bus qui font de la théorie des catégories ou de la logique, l'écrasante majorité des mathématiciens se contentent de la théorie des ensembles

L'ensemble de tous les ensembles, il existe ?

Bah dans la théorie des ensembles ZF, on a le schéma d'axiomes de séparation qui nous dit qu'on peut définir n'importe quel sous-ensemble d'éléments vérifiant une certaine propriété d'ensembles qui existent sous notre théorie axiomatique. Si l'ensemble de tous les ensembles existait, on aboutit au schéma de compréhension illimité (théorie des ensembles naïves) et donc au paradoxe de Russell. Ainsi c'est un fait qu'un tel ensemble ne peut exister sous ZF.