On va commencé depuis le début où je te suggère de garder l'esprit ouvert pour bien comprendre. (Désolé pour les fautes d'orhtographes, flemme de me relire.)
Si tu t'en rappelles bien, les nombres pairs sont les nombres qui sont multiples de 2. C'est-à-dire {0, 2, 4, 6, 8, etc}. Intuitivement, on se dit qu'il y a moins de nombres pairs qu'il y a de nombres habituels {0, 1, 2, 3, 4, etc }.
Certains diront même qu'il y a deux fois moins de nombres pairs qu'il y a de nombres habituels.
Mais ce résonnement est faux. Il est vrai dans le sens où on a des ensemble fini. Par exemple, si on a 8 pommes dans un panier et 16 dans l'autre, on peut dire qu'il y a deux fois plus dans un panier que dans l'autre.
Mais il y a un nombre infini de nombre pairs et un nombre infini de nombre habituel. Alors comment faire?
On "injecte" les nombres habituel dans les nombres pairs. Plus précisèment, à tout nombre habituel, on associe son double et on retrouve un nombre pair. Remarque qu'on a alors tout les nombres pairs comme ça.
Cela revient à dire qu'à chaque nombre habituel, on peut y associer un nombre pairs distinct. Ca revient à montrer qu'il y a autant de nombres pairs qu'il y a de nombres habituels sinon on aurait eu des répétitions.
Dans ce cas on dirat la quantité infini de nombre pairs, noté #{nombres pairs} est plus grand ou égal au quantité infini des nombres habituels, noté #{nombres habituels}.
En gros, en notant plus grand ou égal par >=, #{nombres pairs} >= #{nombres habituels}.
Bien sûr, en divisant chaque nombre pairs par deux, on a un nombre habituel. Par le même raisonnement que le dessus, on a l'inégalité dans l'autre sens : #{nombres pairs} =< #{nombres habituels}.
On conclut alors #{nombres pairs} = #{nombres habituels}. Un peu surprenant, non? Pourtant c'est tout à fait logique. Si ça nous semble "faux" ou contre-intuitive, c'est parce qu'on est habitué à réfléchir avec des ensembles finis et à prendre des raccourcis. En vrai, pour vraiment comparer des quantité, on utilise des "injection" comme on vient de le faire.
De la même façon, #{nombres impairs} = #{nombres habituels}. (On envoie n sur 2n + 1 et dans l'autre sens x sur (x-1)/2.)
Maintenant, si on prend les nombres habituels ainsi que leur négatifs : { etc, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 etc} qu'on
va noté {nombres + et -}
On a aussi #{nombres + et -} = #{nombres habituels}
Pour le voir, on envoie 0 sur 0, 1 sur 1, 2 sur -1, 3 sur 2, 4 sur -2, 5 sur 3, 6 sur -3, 7 sur 4, 8 sur -4 etc...
Et on peut faire de même dans l'autre sens.
On a alors #{nombres + et -} = #{nombres habituels} = #{nombres impairs} = #{nombres pairs}
En allant encore plus loin, il s'avère que l'ensemble des fractions : {0, 1, 1/2, 1/3, 4/5, 17/12, -5/6, -9/8, 10, -123/51427 etc } est de même quantité que les nombres habituels. On le montre, comme d'habitude, avec une "injection".
Pour le charabia, si on a une injection dans les deux sens, on appelle ça une bijection.
Si on a une bijection avec les nombres habituels, on dit que c'est dénombrables (on peut les numérotés quoi).
Est-ce qu'il existe une ensmeble de chiffres qu'il nous est impossible de numéroter avec les nombres habituels? Oui. Suffit de considérer ce qu'on appelle les "réels" qui sont les chiffres qu'on reconnaît souvent comme ceux écrits sous la forme 162,4782883651553664849... avec une infinité de chiffre qui suivent après la virgule (ces chiffres peuvent bien être zéro, par exemple 10 = 10,0000000000.... et 10,25 = 10,2500000... etc). Par exemple, pi est un nombre réel, racine de 2 est une nombre réel, toute fraction est un nombre réel etc.
Il s'avère qu'on ne peut pas numéroter tous ces chiffres. On peut bien sûr injecter les nombres habituels dans les réels, mais pas l'inverse. Donc on a que #{nombres habituels} < #{réels} sans aucune égalité possible.
En math, on peut continuer de construire des ensembles de plus en plus grands dans le sens que je viens d'évoqué. Il faut voir le sujet de "théorie des ensembles" et les "nombres ordinaux" et les "cardinaux".
