Je cherche l'ensemble des couples de nombres réels (a,b) tels que a<1, b<1 et tels que pour tout couple de réels postifs (m,n), on ait:
max(m+bn ; am+n) >= 0.

C'est quoi cet ensemble svp ?

Non c'est pas pour un DM ou je ne sais quoi, j'en ai besoin pour un projet perso

En gros je voudrais pouvoir exprimer b en fonction de a, par exemple (exemple totalement au pif juste pour montrer le format de réponse que je cherche) :

" Si 0.5<a<1 alors toute valeur b<1 convient. Si 0<a=<0.5 alors tout b vérifiant 1>b> -a/2 convient. Si a=<0, aucune valeur de b ne convient"

https://www.chatgpt.com/

Le 15 janvier 2025 à 02:49:09 :
https://www.chatgpt.com/

Déjà tenté, il répond de la merde

Je crois que c'est juste a>=0 ou b>=0 si j'ai bien compris

[02:55:00] <RoiLoutre15>
Je crois que c'est juste a>=0 ou b>=0 si j'ai bien compris

This, tu veux m+bn>=0 ou am+n>=0 pour tous m,n>=0 i.e. b>=max(-m/n)=0 ou a>=max(-n/m)=0, où le max est pris sur tous les m,n possibles

Ok merci pour vos réponses !

Mais par contre non en fait, ça marche pas
Prenons a=-1 et b=-1.

alors max(m+bn,am+n)=max(m-n,n-m) >=0, pour tout couple (m,n). Pourtant ni a ni b ne sont positifs, non ?

Peut-être ceci? a dans [-n/m, 1[ et b dans [-m/n, 1[

Le 15 janvier 2025 à 03:29:22 :
Peut-être ceci? a dans [-n/m, 1[ et b dans [-m/n, 1[

Bah, la réponse ne peut pas dépendre de n et m puisque je veux quelque chose qui soit vrai pour tout n et pour tout m

Le 15 janvier 2025 à 03:30:08 :

Le 15 janvier 2025 à 03:29:22 :
Peut-être ceci? a dans [-n/m, 1[ et b dans [-m/n, 1[

Bah, la réponse ne peut pas dépendre de n et m puisque je veux quelque chose qui soit vrai pour tout n et pour tout m

Bah c'est vrai quelque soit m, n justement

Le 15 janvier 2025 à 03:31:22 :

Le 15 janvier 2025 à 03:30:08 :

Le 15 janvier 2025 à 03:29:22 :
Peut-être ceci? a dans [-n/m, 1[ et b dans [-m/n, 1[

Bah, la réponse ne peut pas dépendre de n et m puisque je veux quelque chose qui soit vrai pour tout n et pour tout m

Bah c'est vrai quelque soit m, n justement

Je ne comprends pas ta réponse.

Par exemple si je prends a=0.5, quelles valeurs de b conviendraient ?

Si tu veux, ton problème a moins de contraintes, donc a et b ne peuvent que dépendre de m et n. Le choix de a et B est conditionné par les valeurs de m et n choisies.

Le 15 janvier 2025 à 03:33:52 :
Si tu veux, ton problème a moins de contraintes, donc a et b ne peuvent que dépendre de m et n. Le choix de a et B est conditionné par les valeurs de m et n choisies.

Mais non justement le problème ne peut PAS dépendre de m et n puisque je demande un truc qui soit vrai "pour tout couple (m,n)". Les valeurs de m et n ne sont pas fixées.

C'est un peu comme si je demandais "je cherche un nombre x tel que pour tout couple de nombres réels positifs m et n , on ait x > -(m+n)" et que tu me répondais "la valeur de x dépend de m et de n".
Sauf que non, l'ensemble des solution c'est juste " x>0 ", ça ne dépend pas de m et n (normal, puisque je n'ai attribué aucune valeur à m ni à n )

Ok prenons ton exemple. Pour a = 1/2, on veut max(m+bn, 1/2m+n)>=0 (1)
1/2m+n est positif
Si 1/2m+n est le max alors m+bn<1/2m+n
Ce qui veut dire que b<(n-m/2)/n=1-m/(2n)
Si le terme de droite est < 1, alors toute valeur de B fonctionne

Si 1/2m+n est le min, b>1-m/(2n)
Dans ce cas, B doit être entre le terme de droite et 1

Peu importe le cas, b est fonction de m et n
On ne peut pas minorer ou majorer également (on sait que b<1)

Le 15 janvier 2025 à 03:48:23 :
Ok prenons ton exemple. Pour a = 1/2, on veut max(m+bn, 1/2m+n)>=0 (1)
1/2m+n est positif
Si 1/2m+n est le max alors m+bn<1/2m+n
Ce qui veut dire que b<(n-m/2)/n=1-m/(2n)
Si le terme de droite est < 1, alors toute valeur de B fonctionne

Si 1/2m+n est le min, b>1-m/(2n)
Dans ce cas, B doit être entre le terme de droite et 1

Peu importe le cas, b est fonction de m et n
On ne peut pas minorer ou majorer également (on sait que b<1)

Tu le dis toi même:
Pour a = 1/2, on veut max(m+bn, 1/2m+n)>=0
1/2m+n est positif.
Bah du coup c'est fini, on sait que le max est toujours positif puisque 1/2m+n est toujours positif. Tu vois bien que je peux répondre cash "toute valeur de b convient puisque quoi qu'il arrive, 1/2m+n sera positif". Tu vois bien que m et n n'interviennent pas du tout dans cette affirmation, ce qui encore une fois est normal puisque je n'ai même pas attribué de valeur à m ni à n dans l'énoncé !

Le 15 janvier 2025 à 02:47:42 :
Je cherche l'ensemble des couples de nombres réels (a,b) tels que a<1, b<1 et tels que pour tout couple de réels postifs (m,n), on ait:
max(m+bn ; am+n) >= 0.

C'est quoi cet ensemble svp ?

Non c'est pas pour un DM ou je ne sais quoi, j'en ai besoin pour un projet perso

En gros je voudrais pouvoir exprimer b en fonction de a, par exemple (exemple totalement au pif juste pour montrer le format de réponse que je cherche) :

" Si 0.5<a<1 alors toute valeur b<1 convient. Si 0<a=<0.5 alors tout b vérifiant 1>b> -a/2 convient. Si a=<0, aucune valeur de b ne convient"

Mais quand tu dis qu'aucune valeur de B ne convient, qu'est ce que tu entends par là ? Parce que l'inequation rest vérifiée

Oups j'ai fait l'erreur de mélanger
" Pour tous m,n b>-m/n ou a>=-n/m" avec "pour tous m,n b>=-m/n ou pour tous m,n a>=-n/m"
Je vois pas trop pour l'instant

Le 15 janvier 2025 à 03:55:28 :

Le 15 janvier 2025 à 02:47:42 :
Je cherche l'ensemble des couples de nombres réels (a,b) tels que a<1, b<1 et tels que pour tout couple de réels postifs (m,n), on ait:
max(m+bn ; am+n) >= 0.

C'est quoi cet ensemble svp ?

Non c'est pas pour un DM ou je ne sais quoi, j'en ai besoin pour un projet perso

En gros je voudrais pouvoir exprimer b en fonction de a, par exemple (exemple totalement au pif juste pour montrer le format de réponse que je cherche) :

" Si 0.5<a<1 alors toute valeur b<1 convient. Si 0<a=<0.5 alors tout b vérifiant 1>b> -a/2 convient. Si a=<0, aucune valeur de b ne convient"

Mais quand tu dis qu'aucune valeur de B ne convient, qu'est ce que tu entends par là ? Parce que l'inequation rest vérifiée

Khey je ne comprends pas ta question.
T'as fait des études en maths ?

Le 15 janvier 2025 à 03:56:39 :
Oups j'ai fait l'erreur de mélanger
" Pour tous m,n b>=max(-m/n) ou a>=max(-n/m)" avec "pour tous m,n b>=max(-m/n) ou pour tous m,n a>=max(-n/m)"

Je vois pas trop pour l'instant

D'acc, merci quand même d'avoir regardé
En vrai ça me rassure un peu de voir que c'est pas SI trivial que ça
Bon je préférerais avoir la réponse évidemment, mais je me serais senti idiot si le fofo avait trouvé la réponse en 2 minutes