Ah ou alors ce qui te perturbe c'est juste que j'ai dit "colonnes", je voulais dire éléments. Je fais souvent l'amalgame matrice/famille de vecteurs, c'est pas ultra rigoureux mais c'est pratique

Bon j'ai une autre proposition, celle-là je suis 100% sûr de sa véracité

Proposition : il existe une famille (v_1, ..., v_2k) de vecteurs de R^2 telle que
pour tout 2k-uplet (e_1, ..., e_2k) dans { -1; +1}^(2k), les deux conditions suivantes sont vérifiées, en appelant (w_1, ..., w_2k) = (e_1*v_1, ..., e_2k*v_2k)
1) pour tous i et j distincts dans {1, ..., 2k}, (w_i, w_j) est libre
2) il existe un demi-plan qui contient k+1 vecteurs parmi les w_i

Ce que tu dis est qu'il apparemment impossible de passer de k+1 à k+2 dans cette proposition

Quand tu parles de demi-plan, tu parles de demi-plan fermé ou de demi-plan ouvert ?

Le 25 avril 2023 à 23:40:43 :
Quand tu parles de demi-plan, tu parles de demi-plan fermé ou de demi-plan ouvert ?

Demi-plan fermé mais ouvert ça marche aussi je crois (quitte à perturber un peu l'hyperplan). De toute façon, pour démontrer l'énoncé original (qui porte sur des combinaisons linéaires à coeff positifs, on n'a besoin que de l'hypothèse demi-plan fermé)

Pour démontrer ma proposition plus haut, l'idée simple est de prendre une droite au hasard. Par comptage, un de deux demi-plans délimités par la droite contient au moins k vecteurs w_i. S'il en contient plus de k+1, c'est bon. Sinon il n'en contient que k. Alors on fait tourner la droite jusqu'à "attraper" un vecteur supplémentaire pour obtenir k+1 vecteurs dans le même demi-plan.

Maintenant je pensais généraliser ça au cas R^3. Prendre un plan, puis prendre un des deux demi-espaces délimité par le plan qui contient au moins k vecteurs. Enfin "tourner" le plan de façon à "attraper" 2 vecteurs supplémentaires dans le demi-espace (on a deux degrés de liberté au lieu de un dans le cas R^2)

c'est bon j'ai trouvé!

Je vais démontrer la proposition suivante :

Proposition : il existe une famille (v_1, ..., v_2k) de vecteurs de R^3 telle que
pour tout 2k-uplet (e_1, ..., e_2k) dans { -1; +1}^(2k), les deux conditions suivantes sont vérifiées, en appelant (w_1, ..., w_2k) = (e_1*v_1, ..., e_2k*v_2k)
1) pour tous i, j, l distincts dans {1, ..., 2k}, (w_i, w_j, w_l) est libre
2) il existe un demi-espace fermé qui contient k+2 vecteurs parmi les w_i

Ahi, j'ai raconté de la merde depuis le début, y a rien qui marche dans ce que j'ai écrit en fait

Hum si en fait, la proposition R^2 que j'avais écrite est vraie, mais la démonstration n'est pas aussi immédiate que "attraper" un vecteur en faisant tourner une droite comme je l'avais imaginé dans ma tête

Proposition : il existe une famille (v_1, ..., v_2k) de vecteurs de R^2 telle que
pour tout 2k-uplet (e_1, ..., e_2k) dans { -1; +1}^(2k), les deux conditions suivantes sont vérifiées, en appelant (w_1, ..., w_2k) = (e_1*v_1, ..., e_2k*v_2k)
1) pour tous i et j distincts dans {1, ..., 2k}, (w_i, w_j) est libre
2) il existe un demi-plan qui contient k+1 vecteurs parmi les w_i

Le cas R^3 ne doit plus être très loin à partir de là...

Bon peut-être que je trouverai pendant la nuit