Salut les kheys !
Je cherche une façon de prouver/réfuter l'affirmation suivante (mais je pense qu'elle est vraie):

Pour tout k>=2, il existe une famille E de 2k+2 vecteurs dans R^3 vérifiant simultanément les trois conditions suivantes:
1) Toute sous-famille obtenue en retirant 2k-1 colonnes (donc toute sous-famille de taille 3) forme une base de R^3.
2) Il existe une sous-famille de R^3 obtenue en retirant k-1 colonnes (donc de taille k+3) qui ne génère pas R^3 par des combinaisons à coefficients positifs.
3) Les conditions 1) et 2) sont vérifiées par toute famille obtenue en changeant arbitrairement le signe de certains éléments de E.

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Formulation équivalente :

Vrai ou faux (et je pense que c'est vrai):

Pour tout k>=2, il existe une famille E de 2k+2 vecteurs de R^3, vérifiant les conditions suivantes:
1) N'importe quel triplet d'éléments de E forme une base de R^3.
2) Il existe un vecteur u orthogonal à un hyperplan généré par deux éléments de E, tel qu'au moins k+1 éléments de E ont un produit scalaire strictement positif avec u.
3) Les conditions 1) et 2) sont vérifiées par toutes famille obtenue en changeant arbitrairement le signe de certains éléments de E.

Voilà, j'ai essayé de reformuler le plus clairement possible mon exo.
Nb:
-Il n'est pas totalement trivial que ces deux formulations sont équivalentes, mais elles le sont. Choisissez celle que vous préférez et aidez-moi à y répondre svp .
-La raison pour laquelle je pense que l'affirmation est vraie ? Parce que j'ai vérifié à l'ordi pour de petites valeurs de k.

Je up même si j'ai pas le temps de m'y pencher

Merci khey

Full bullshit, jamais ça ne te servira dans la vie tout ça

Le 25 avril 2023 à 22:42:21 :
T'as essayé quoi comme du coup?

J'ai testé récurrence (puisque l'ordi permet de gérer l'initialisation) mais je n'ai pas trouvé de façon de la terminer...

Sinon j'ai essayé de créer ce genre de familles "à la main" (ce qui ne semble pas spécialement absurde puisque si j'en crois mes algos, il est très facile de créer de telles familles). Par exemple je prenais la famille constituée des vecteurs dont les coordonnées sont les sommets d'un polytope régulier à n sommets dans R^2, je rajoutais une troisième coordonnée égale à -1, 0 ou 1 à chacun de ces vecteurs, et j'essayais de voir si le truc ainsi créé vérifiait les trois propriétés.
Généralement non

Le 25 avril 2023 à 22:43:38 :
Full bullshit, jamais ça ne te servira dans la vie tout ça

Ca servira à me rendre content d'avoir trouvé la réponse. De ce point de vue, c'est utile.

C'est quel niveau ça ?

Le 25 avril 2023 à 22:49:56 :
C'est quel niveau ça ?

Il n'y a pas besoin d'un gros niveau pour comprendre la question:
Le niveau L1 devrait suffire.
Pour y répondre, je ne peux pas te dire puisque je n'ai pas la réponse justement.

j'ai une solution évidente si la famille dans la condition 2) comporte k+1 vecteurs au lieu de k+3

on prend un plan au hasard dans R^3 qui partage R^3 en deux demi-espaces
comme la liste initiale de vecteurs comporte 2k+2 vecteurs, par un simple principe de comptage, il doit y avoir au moins un des deux demi-espaces qui contient au moins k+1 vecteurs, ces vecteurs ne pourront jamais engendrer R^3 par des combinaisons linéaires à coefficients positifs (étant tous dans le même demi-espace)

quant à passer de k+1 vecteurs à k+3 vecteurs, hum...

je progresse, il suffit en fait de montrer la proposition suivante :

Proposition : il existe une famille de 2k+2 vecteurs dans R^2 telle que
1) deux vecteurs pris dans cette liste forment toujours une famille libre (donc une base de R^2)
2) il existe un demi-plan qui contient k+3 vecteurs
et ceci pour 1) et 2) quelque soit l'affectation positive ou négative sur les vecteurs (comme dans l'énoncé initial)

Pour vérifier que cela entraîne la proposition originale, il suffit de rajouter une troisième composante appropriée à chaque vecteur (intuitivement)

Le 25 avril 2023 à 23:04:24 :
je progresse, il suffit en fait de montrer la proposition suivante :

Proposition : il existe une famille de 2k+2 vecteurs dans R^2 telle que
1) deux vecteurs pris dans cette liste forment toujours une famille libre (donc une base de R^2)
2) il existe un demi-plan qui contient k+3 vecteurs
et ceci quelque soit l'affectation positif ou négatif sur les vecteurs (comme dans l'énoncé initiale)

Pour vérifier que cela entraîne la proposition originale, il suffit de rajouter une troisième composante appropriée à chaque vecteur (intuitivement)

La propriété est fausse dans R^2 malheureusement.

Le 25 avril 2023 à 23:05:22 :

Le 25 avril 2023 à 23:04:24 :
je progresse, il suffit en fait de montrer la proposition suivante :

Proposition : il existe une famille de 2k+2 vecteurs dans R^2 telle que
1) deux vecteurs pris dans cette liste forment toujours une famille libre (donc une base de R^2)
2) il existe un demi-plan qui contient k+3 vecteurs
et ceci quelque soit l'affectation positif ou négatif sur les vecteurs (comme dans l'énoncé initiale)

Pour vérifier que cela entraîne la proposition originale, il suffit de rajouter une troisième composante appropriée à chaque vecteur (intuitivement)

La propriété est fausse dans R^2 malheureusement.

Ah bon, ah...

Up pour ce khey

Dans R^2, ça doit être vrai pour k assez grand non?
C'est vrai que pour k=2, on va avoir un petit problème : une famille à 6 vecteurs, et il en faudrait toujours 5 dans le même demi-plan quelque soit l'affectation positive ou négative, on va avoir un problème.

J'ai une autre idée un peu farfelue. Prendre un espace beaucoup plus grand que R^3 (disons R^N), trouver une famille de vecteurs dans cet espace qui respecte les conditions (je pensais au départ aux sommets d'un hypercube) puis projeter le tout dans R^3 au moyen d'un projection adéquate de façon à conserver les deux conditions.

Plutôt que 2k+2 et k+3, autant remplacer k par k-1, pour obtenir plus simplement 2k et k+2

Le 25 avril 2023 à 23:11:07 :
Dans R^2, ça doit être vrai pour k assez grand non?

Si la question que tu te poses est la suivante :

Vrai ou faux, pour tout k>=2, il existe une famille E de 2k+1 vecteurs dans R^2 vérifiant simultanément les trois conditions suivantes:
1) Toute sous-famille obtenue en retirant 2k-1 colonnes (donc toute sous-famille de taille 2) forme une base de R^2.
2) Il existe une sous-famille obtenue en retirant k-1 colonnes (donc de taille k+2) qui ne génère pas R^2 par des combinaisons à coefficients positifs.
3) Les conditions 1) et 2) sont vérifiées par toute famille obtenue en changeant arbitrairement le signe de certains éléments de E.

Alors la réponse est faux. Je ne peux pas te rédiger la preuve (elle n'utilise pas d'outils compliqué mais elle est assez longue) mais vraiment je suis sûr à 100% que c'est faux, malheureusement.
C'est d'ailleurs pour ça que je me suis placé en dimension 3 dans mon énoncé Parce qu'à partir de la dimension 3, ça semble être vrai si je me fie à l'ordi.

Le 25 avril 2023 à 23:22:11 :

Le 25 avril 2023 à 23:11:07 :
Dans R^2, ça doit être vrai pour k assez grand non?

Si la question que tu te poses est la suivante :

Vrai ou faux, pour tout k>=2, il existe une famille E de 2k+1 vecteurs dans R^2 vérifiant simultanément les trois conditions suivantes:
1) Toute sous-famille obtenue en retirant 2k-1 colonnes (donc toute sous-famille de taille 2) forme une base de R^2.
2) Il existe une sous-famille obtenue en retirant k-1 colonnes (donc de taille k+2) qui ne génère pas R^2 par des combinaisons à coefficients positifs.
3) Les conditions 1) et 2) sont vérifiées par toute famille obtenue en changeant arbitrairement le signe de certains éléments de E.

Alors la réponse est faux. Je ne peux pas te rédiger la preuve (elle n'utilise pas d'outils compliqué mais elle est assez longue) mais vraiment je suis sûr à 100% que c'est faux, malheureusement.
C'est d'ailleurs pour ça que je me suis placé en dimension 3 dans mon énoncé Parce qu'à partir de la dimension 3, ça semble être vrai si je me fie à l'ordi.

ok je te crois, c'est très bizarre de parler de "retirer 2k-1" colonnes par contre