Bonsoir les clés,
J'ai un exercice à faire, qui est le suivant :
Voilà ce que j'ai fait, mais je ne sais pas par quoi continuer pour le finir :

il faut simplement que tu montres que l'une est croissante (Un+1-Un>0) l'autre décroissante (Vn+1-Vn<0) et que la limite de la différence des deux tend vers 0

Je vois clé, mais comment trouver Un avec Un+1 ? Si je trouve ça le tour est joué

Le 04 novembre 2021 à 22:46:50 :
Je vois clé, mais comment trouver Un avec Un+1 ? Si je trouve ça le tour est joué

Ca marche pas par récurrence ?

Puisque t'as U_n+1 = f(U_n) ça devrait bien fonctionner je pense.

Le 04 novembre 2021 à 22:49:06 :

Le 04 novembre 2021 à 22:46:50 :
Je vois clé, mais comment trouver Un avec Un+1 ? Si je trouve ça le tour est joué

Ca marche pas par récurrence ?

Puisque t'as U_n+1 = f(U_n) ça devrait bien fonctionner je pense.

Je vais essayer ça et je te dis

il existe une formule toute faite pour les suites arithmético-géométriques qui te donne Un=f(n) à partir de Un+1=f(Un) et U0. Ici on est dans le cas où a est différent de 1.

a=3/4 et b=1/4

Bon j'ai essayé leur astuce, j'ai réussi à prouver que (Vn-Un) est géo. Wn = 2*(3/4)^n, donc Wn est décroissante.
Je devrai dire quoi maintenant ?

On obtient Un = - (0,75^n) +1 et Vn = (0,75^n) +1 donc Un - Vn = - (0,75^n) +1 - (0,75^n) -1 = - 2*(0,25^n) qui tend vers n quand n tend vers l'infini puisque 0,75<1

Photo pas dans le bon sens, pas d'aide déso

Deux suites réelles (an) et (bn) sont dites adjacentes si l'une des suites est croissante (au sens large), l'autre suite décroissante (au sens large) et si la différence des deux converge vers 0.

1) Prouve que l'une est croissante et l'autre decroissante ( tu as juste a calculer un+2-un+1 > 0

2) pour prouver que la limite tend vers 0, je te conseille de faire une nouvelle suite qui est égale a la différence des deux, ensuite perso je l'écrirai sans preuve ça m'as l'air évident mais tu peut faire une reccurence sinon

Edit : ça colle moyen avec tes suite, bref gl désolé vraiment la flemme

Désolé.

Le 04 novembre 2021 à 23:13:20 :
On obtient Un = - (0,75^n) +1 et Vn = (0,75^n) +1 donc Un - Vn = - (0,75^n) +1 - (0,75^n) -1 = - 2*(0,25^n) qui tend vers n quand n tend vers l'infini puisque 0,75<1

Désolé, j'ai pas trop compris ta démarche, mais je te remercie quand même.

Le 04 novembre 2021 à 23:14:54 :
Deux suites réelles (an) et (bn) sont dites adjacentes si l'une des suites est croissante (au sens large), l'autre suite décroissante (au sens large) et si la différence des deux converge vers 0.

1) Prouve que l'une est croissante et l'autre decroissante ( tu as juste a calculer un+2-un+1 > 0

2) pour prouver que la limite tend vers 0, je te conseille de faire une nouvelle suite qui est égale a la différence des deux, ensuite perso je l'écrirai sans preuve ça m'as l'air évident mais tu peut faire une reccurence sinon

Je vois merci.

Le 04 novembre 2021 à 23:16:48 :
Edit : ça colle moyen avec tes suite, bref gl désolé vraiment la flemme

Le 04 novembre 2021 à 23:13:20 :
On obtient Un = - (0,75^n) +1 et Vn = (0,75^n) +1 donc Un - Vn = - (0,75^n) +1 - (0,75^n) -1 = - 2*(0,25^n) qui tend vers n quand n tend vers l'infini puisque 0,75<1

"tend vers n" petit lapsus je pense

Le 04 novembre 2021 à 23:09:37 :
Bon j'ai essayé leur astuce, j'ai réussi à prouver que (Vn-Un) est géo. Wn = 2*(3/4)^n, donc Wn est décroissante.
Je devrai dire quoi maintenant ?

Il faut bien dire que Vn-Un (que t'as appelée Wn) tend vers 0 quand n tend vers l'infini. La décroissance ne suffit pas. Par exemple la suite 0,5^n + 1 est décroissante mais elle ne tend pas vers 0 en l'infini...
Maintenant il faut que tu montres que l'une est décroissante et l'autre croissante. (soit Vn croissante et Un décroissante soit le contraire)
Pour montrer qu'une suite est croissante il suffit de montrer que Un+1-Un>0

Le 04 novembre 2021 à 23:20:48 :

Le 04 novembre 2021 à 23:13:20 :
On obtient Un = - (0,75^n) +1 et Vn = (0,75^n) +1 donc Un - Vn = - (0,75^n) +1 - (0,75^n) -1 = - 2*(0,25^n) qui tend vers n quand n tend vers l'infini puisque 0,75<1

"tend vers n" petit lapsus je pense

oi je voulais dire tend vers 0 désolé

Le 04 novembre 2021 à 23:21:46 :

Le 04 novembre 2021 à 23:09:37 :
Bon j'ai essayé leur astuce, j'ai réussi à prouver que (Vn-Un) est géo. Wn = 2*(3/4)^n, donc Wn est décroissante.
Je devrai dire quoi maintenant ?

Il faut bien dire que Vn-Un (que t'as appelée Wn) tend vers 0 quand n tend vers l'infini. La décroissance ne suffit pas. Par exemple la suite 0,5^n + 1 est décroissante mais elle ne tend pas vers 0 en l'infini...
Maintenant il faut que tu montres que l'une est décroissante et l'autre croissante. (soit Vn croissante et Un décroissante soit le contraire)
Pour montrer qu'une suite est croissante il suffit de montrer que Un+1-Un>0

Tel que Un = - (0,75^n) +1 et Vn = = (0,75^n) +1 ? ( c'est ce que t'as trouvé, mais j'ai pas compris comment)

Je vais essayer de démontrer que Un+2> Un+1 et que Vn+2<Vn+1

Le 04 novembre 2021 à 23:23:32 :

Le 04 novembre 2021 à 23:21:46 :

Le 04 novembre 2021 à 23:09:37 :
Bon j'ai essayé leur astuce, j'ai réussi à prouver que (Vn-Un) est géo. Wn = 2*(3/4)^n, donc Wn est décroissante.
Je devrai dire quoi maintenant ?

Il faut bien dire que Vn-Un (que t'as appelée Wn) tend vers 0 quand n tend vers l'infini. La décroissance ne suffit pas. Par exemple la suite 0,5^n + 1 est décroissante mais elle ne tend pas vers 0 en l'infini...
Maintenant il faut que tu montres que l'une est décroissante et l'autre croissante. (soit Vn croissante et Un décroissante soit le contraire)
Pour montrer qu'une suite est croissante il suffit de montrer que Un+1-Un>0

Tel que Un = - (0,75^n) +1 et Vn = = (0,75^n) +1 ? ( c'est ce que t'as trouvé, mais j'ai pas compris comment)

c'est simplement une formule à appliquer, plus haut j'ai fait une capture d'écran de la page wiki s'y rapportant. Mais tu avais déjà trouvé Un=f(n) et Vn=f(n) par toi-même non?