Salut, j'ai des doutes sur cet exo...

Pour la 1) j'ai trouvé P(Xn=xk)= 1/n+1 pour k appartenant à [0;n]

Pour l'espérance, je calcule la somme pour k allant de 0 à n de xk*P(Xn=k)

La fonction de répartition, je cherche P(Xn=<xk) = P(Union pour t allant de 0 à k de Xn=xt) = somme P(Xn=xt) pour t allant de 0 à k (k+1)*1/(n+1)

Cependant en passant à la 2) je bloque, j'ai dû faire une erreur dans la 1.

Quelqu'un pour m'expliquer ? Merci d'avance

Tu as dû voir qu'une caractérisation de la convergence en loi de Xn vers X pour les v.a. réelles est que la fonction de répartition de Xn converge vers celle de X en tout point où cette dernière est continue.

Du coup, l'idée la plus simple ici est de chercher à montrer que la fonction de répartition de Xn tend bien vers la fonction de répartition de la loi uniforme continue sur [a,b]. Pour ce faire, il faut commencer par triturer un peu ton expression de la fonction de répartition de Xn (ton calcul est juste mais un peu incomplet)
Si je prends t dans [a,b], disons avec xi<=t<x_(i+1) pour un certain i, que vaut P(Xn<=t) ?
Est-ce que tu peux alors trouver une expression générale de P(Xn<=t) sans faire intervenir les i ?

Sincérement, je vois pas...

En fait, je ne vois pas quel est l'intérêt de prendre un t réel alors que la variable prend des valeurs discrètes.

Pour ta question, j'aurais dis que ça vaut la somme des P(X=xi) pour k allant de 0 à i)

Euh des P(X=xk) pour k allant de 0 à i

Je n'arrive pas à généraliser

Il te suffit de montrer que la suite des fonction de répartition des (Xn) converge simplement vers la fonction de répartition d'une loi uniforme ?

Tout à fait, mais dans mon cas, la fonction de répartition trouvée m'a l'air incomplète

[23:51:34] <Malkila>
En fait, je ne vois pas quel est l'intérêt de prendre un t réel alors que la variable prend des valeurs discrètes.

Ben c'est la définition de la fonction de répartition, c'est une fonction qui va des réels vers [0,1] donc tu dois trouver ce qu'elle vaut pour tous les réels
Comme ta v.a. est discrète ce sera une fonction en escalier mais c'est pas grave

[00:03:38] <Malkila>
Euh des P(X=xk) pour k allant de 0 à i

P(Xn=xk) tu veux dire je suppose, du coup cette somme vaut (i+1)/(n+1) tu l'as déjà calculée, et oui c'est bien ça : quand x_i<=t<x_(i+1),
P(Xn<=t)=(i+1)/(n+1)

Maintenant je vais reformuler un peu ma question initiale. Le i dans l'expression de P(Xn<=t) nous embête un peu parce qu'il empêche de passer facilement à la limite quand n tend vers l'infini, du coup on aimerait bien s'en débarrasser.
Pour ce faire, est-ce que tu saurais exprimer i en fonction de t, n, a et b ? Rappelle-toi que x_i<=t<x_(i+1) et que x_i = a + i(b-a)/n

Et bien i=(xi-a)n/b-a sauf erreur de ma part

Mais je ne vois pas comment l'exprimer en fonction de t

[00:50:19] <Malkila>
Mais je ne vois pas comment l'exprimer en fonction de t

En partant de a+i(b-a)/n<=t<a+(i+1)(b-a)/n, trouve un encadrement de la forme i<=truc<i+1 et pense à la partie entière.

Je trouve i= Ent(n(t-a)/b-a)

Oui c'est ça, t'arrives à terminer du coup ou pas ?

Est-ce qu'il faut que j'encadre la fonction de répartition puis passer à la limite ?

Ouais c'est une bonne façon de faire

En encadrant, je trouve lim=(t-a)(b-a) qui est bien la valeur de la fonction de répartition d'une loi uniforme sur [a;b].

Pour t € [a;b]

Cette logique te vient-elle naturellement ? Quel est ton niveau ?