Qui connait le site highkholle.fr

Je pense que c'est Troesch le péteux qui l'a créé

Le 06 août 2021 à 21:37:29 :
Je pense que c'est Troesch le péteux qui l'a créé

troesch rigole sur les exercices du site

Le 04 août 2021 à 00:58:26 :
Qui connait le site highkholle.fr

C'est pour les colles dans des petites prépa plutôt.

J'utilisais parfois ce site pour donner des exos d'échauffement

Sinon voilà un petit exercice qui ne demande pas de connaissances

Soit un entier n, comment écrire n sous la forme d'une somme d'entiers tels que le produit de ces entiers est maximum ?

Par exemple pour n = 60

60 = 30 + 30

30*30 = 900

60 = 20 + 20 + 20

20*20*20 = 8000 donc (20,20,20) est un meilleur choix que (30,30).

Quel est le meilleur choix pour chaque n ?

Le 07 août 2021 à 15:05:01 :
Sinon voilà un petit exercice qui ne demande pas de connaissances

Soit un entier n, comment écrire n sous la forme d'une somme d'entiers tels que le produit de ces entiers est maximum ?

Par exemple pour n = 60

60 = 30 + 30

30*30 = 900

60 = 20 + 20 + 20

20*20*20 = 8000 donc (20,20,20) est un meilleur choix que (30,30).

Quel est le meilleur choix pour chaque n ?

un indice ?

Inegalite arithmetico geometrique

Le 06 août 2021 à 21:37:29 :
Je pense que c'est Troesch le péteux qui l'a créé

Bordel, il est même pas capable d'expliquer correctement comment faire pour rédiger des exos et proposer des corrections sur son site !

Le 07 août 2021 à 14:59:14 :

Le 04 août 2021 à 00:58:26 :
Qui connait le site highkholle.fr

C'est pour les colles dans des petites prépa plutôt.

J'utilisais parfois ce site pour donner des exos d'échauffement

Bof t'as pas du bien regarder

Le 07 août 2021 à 17:12:32 :

Le 07 août 2021 à 15:05:01 :
Sinon voilà un petit exercice qui ne demande pas de connaissances

Soit un entier n, comment écrire n sous la forme d'une somme d'entiers tels que le produit de ces entiers est maximum ?

Par exemple pour n = 60

60 = 30 + 30

30*30 = 900

60 = 20 + 20 + 20

20*20*20 = 8000 donc (20,20,20) est un meilleur choix que (30,30).

Quel est le meilleur choix pour chaque n ?

un indice ?

Regarde pour des petites valeurs de n

Oui enfin ca lui dit rirn sur comment resoudre

Un résultat simple et fondamental de combinatoire des mots : Soit a,b, c et d des mots. Si ab = cd alors il existe un mot e tel que : ou bien (si len(a) > len(c) alors a = ce et d = eb) ou bien (si len(a) < len(c) alors c = ae et b = ed).

Le 07 août 2021 à 15:05:01 :
Sinon voilà un petit exercice qui ne demande pas de connaissances

Soit un entier n, comment écrire n sous la forme d'une somme d'entiers tels que le produit de ces entiers est maximum ?

Par exemple pour n = 60

60 = 30 + 30

30*30 = 900

60 = 20 + 20 + 20

20*20*20 = 8000 donc (20,20,20) est un meilleur choix que (30,30).

Quel est le meilleur choix pour chaque n ?

Je propose ça par récurrence, j'ai pas vu plus simple.

La réponse que je propose pour faire court (démo ci-dessus) :
il faut écrire n sous la forme
SpoilAfficherMasquer3 + 3 + ... + 3 (si n est divisible par 3)
3 + 3 + ... + 3 + 2 + 2 (si n-1 est divisible par 3)
3 + 3 + ... + 3 + 2 (si n-2 est divisible par 3)

Le 11 août 2021 à 12:59:32 Templatim a écrit :

Le 07 août 2021 à 15:05:01 :
Sinon voilà un petit exercice qui ne demande pas de connaissances

Soit un entier n, comment écrire n sous la forme d'une somme d'entiers tels que le produit de ces entiers est maximum ?

Par exemple pour n = 60

60 = 30 + 30

30*30 = 900

60 = 20 + 20 + 20

20*20*20 = 8000 donc (20,20,20) est un meilleur choix que (30,30).

Quel est le meilleur choix pour chaque n ?

Je propose ça par récurrence, j'ai pas vu plus simple.

SpoilAfficherMasquer

Employons le langage des partitions : on appelle partition d'un entier strictement positif n, toute liste (n_1,...,n_k) décroissante d'entiers strictement positifs dont la somme vaut n.
Par exemple, la liste 4221 est une partition de n = 9.
Pour tout entier n > 0, notons M(n) l'ensemble des partitions de n maximales d'abord pour le produit de leurs éléments (une telle partition est une réponse à l'exercice), et maximales ensuite pour le nombre de leurs éléments. Appelons partitions maximales les éléments de M(n).
Par exemple, on vérifie que
M(1) = { 1 }, M(2) = { 2 }, M(3) = { 3 }, M(4) = { 22 }, M(5) = { 32 }, M(6) = { 33 }, etc
(à chaque fois M(n) ne contient qu'une seule partition).

Réponse à l'exercice : montrons que pour tout n > 1, M(n) ne contient qu'un seul élément : la partition valant respectivement 33...322, ou 33...32, ou 33...3, selon que n est congru à respectivement 1, 2 ou 3 modulo 3.

On sait déjà que c'est vrai pour n = 2 et 3 (et même pour 4,5 et 6 mais peu importe).
Supposons que, pour un entier N > 3 donné, ce soit vrai pour n'importe quel entier 1 < n < N. Il suffit de montrer que c'est aussi vrai pour N.
Soit (n_1,...,n_k) un élément de M(N).

Lemme 1 : n_k > 1.
Preuve : sinon, n_k = 1, or dans ce cas (n_1+1,n_2,...,n_{k-1}) est une autre partition de N dont le produit des termes est strictement plus grand que celui de (n_1,...,n_k), ce qui contredit l'appartenance de (n_1,n_2,...,n_k) à M(N).

Lemme 2 : k > 1, autrement dit n_k < N.
Preuve : sinon k = 1, c'est-à-dire que le nombre n_1 = n_k vaut N et que le nombre N, en tant que partition à un élément de lui-même, appartient à M(N). Or, comme N >= 4, on a (N-2)*2 >= N, c'est-à-dire que la partition (N-2,2) de N a un produit de termes au moins aussi grand que N et strictement plus de termes que N, ce qui contredit l'appartenance de N à M(N).

Pour terminer la récurrence, il suffit de montrer que (n_1,...,n_{k-1}) = 33...32 ou 33...3 et que n_k = 2 ou 3 (car n_k n'excède pas n_{k-1} par définition d'une partition).

Du Lemme 2, on obtient que (n_1,...,n_{k-1}) est une partition de N - n_k.
Plus précisément, il est nécessaire que (n_1,...,n_{k-1}) appartienne à M(N-n_k) et que n_k appartienne à M(n_k), car sinon on pourrait construire une partition de N dont le produit des termes serait strictement plus grand que celui de (n_1,...,n_k), ou bien contenant strictement plus de termes que (n_1,...,n_k), ce qui contredirait l'appartenance de (n_1,...,n_k) à M(N).

Or, N - n_k < N. De plus, si l'on suppose que N - n_k <= 1, alors n_1 vaut au plus 1 car la somme de termes positifs n_1 + ... + n_{k-1} vaut N-n_k, ainsi n_k vaut au plus 1 par définition d'une partition, ce qui contredit le Lemme 1.
Donc 1 < N - n_k < N, ainsi, comme (n_1,...,n_{k-1}) appartient à M(N - n_k), alors par hypothèse de récurrence, on déduit que la partition (n_1,...,n_{k-1}) vaut 33...322, ou 33...32, ou 33...3, selon que N - n_k est congru à respectivement 1, 2 ou 3 modulo 3.

Ensuite, comme 1 < n_k < N d'après les Lemmes 1 et 2, et comme n_k appartient à M(n_k), alors par le Lemme 2, qui nous dit qu'une partition maximale d'un entier valant au moins 4 contient nécessairement au moins deux éléments, il est nécessaire que n_k, en tant que partition maximale de n_k ne contenant qu'un seul élément, vale moins que 4, c'est-à-dire que n_k = 1, 2 ou 3. Par le Lemme 1, on sait que n_k > 1, donc n_k = 2 ou 3.

Finalement, il est impossible que (n_1,...,n_{k-1}) vale 33...322, car alors (n_1,...,n_k) = 33...3222, ce qui n'appartient pas à M(N) car 2 + 2 + 2 = 3 + 3 et 2*2*2 < 3*3.
Donc (n_1,...,n_{k-1}) vaut 33...32 ou 33...3 et n_k vaut 2 ou 3, ce qui termine la récurrence.

Je suis arrivé à la même réponse, mais je pense qu'on peut la déduire "simplement" (plus simple mais moins rigoureux) à partir de 3 règles

Oui c'est convaincant.

Le 07 août 2021 à 18:05:04 :
Inegalite arithmetico geometrique

je vois pas trop comment l'utiliser, enfin j'ai une idée genre on utilise le cas d'égalité de l'IAG?...

Exercice : l'intérieur d'un coffre est un cube de longueur m. On dispose de lingots consistant en des pavés droits de dimensions a,b,c. Montrer qu'on peut remplir intégralement ce coffre avec des lingots si et seulement si m est un multiple entier de a (la longueur a multipliée par un nombre entier), de b et de c.

Le 11 août 2021 à 12:59:32 :

Le 07 août 2021 à 15:05:01 :
Sinon voilà un petit exercice qui ne demande pas de connaissances

Soit un entier n, comment écrire n sous la forme d'une somme d'entiers tels que le produit de ces entiers est maximum ?

Par exemple pour n = 60

60 = 30 + 30

30*30 = 900

60 = 20 + 20 + 20

20*20*20 = 8000 donc (20,20,20) est un meilleur choix que (30,30).

Quel est le meilleur choix pour chaque n ?

Je propose ça par récurrence, j'ai pas vu plus simple.

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Employons le langage des partitions : on appelle partition d'un entier strictement positif n, toute liste (n_1,...,n_k) décroissante d'entiers strictement positifs dont la somme vaut n.
Par exemple, la liste 4221 est une partition de n = 9.
Pour tout entier n > 0, notons M(n) l'ensemble des partitions de n maximales d'abord pour le produit de leurs éléments (une telle partition est une réponse à l'exercice), et maximales ensuite pour le nombre de leurs éléments. Appelons partitions maximales les éléments de M(n).
Par exemple, on vérifie que
M(1) = { 1 }, M(2) = { 2 }, M(3) = { 3 }, M(4) = { 22 }, M(5) = { 32 }, M(6) = { 33 }, etc
(à chaque fois M(n) ne contient qu'une seule partition).

Réponse à l'exercice : montrons que pour tout n > 1, M(n) ne contient qu'un seul élément : la partition valant respectivement 33...322, ou 33...32, ou 33...3, selon que n est congru à respectivement 1, 2 ou 3 modulo 3.

On sait déjà que c'est vrai pour n = 2 et 3 (et même pour 4,5 et 6 mais peu importe).
Supposons que, pour un entier N > 3 donné, ce soit vrai pour n'importe quel entier 1 < n < N. Il suffit de montrer que c'est aussi vrai pour N.
Soit (n_1,...,n_k) un élément de M(N).

Lemme 1 : n_k > 1.
Preuve : sinon, n_k = 1, or dans ce cas (n_1+1,n_2,...,n_{k-1}) est une autre partition de N dont le produit des termes est strictement plus grand que celui de (n_1,...,n_k), ce qui contredit l'appartenance de (n_1,n_2,...,n_k) à M(N).

Lemme 2 : k > 1, autrement dit n_k < N.
Preuve : sinon k = 1, c'est-à-dire que le nombre n_1 = n_k vaut N et que le nombre N, en tant que partition à un élément de lui-même, appartient à M(N). Or, comme N >= 4, on a (N-2)*2 >= N, c'est-à-dire que la partition (N-2,2) de N a un produit de termes au moins aussi grand que N et strictement plus de termes que N, ce qui contredit l'appartenance de N à M(N).

Pour terminer la récurrence, il suffit de montrer que (n_1,...,n_{k-1}) = 33...32 ou 33...3 et que n_k = 2 ou 3 (car n_k n'excède pas n_{k-1} par définition d'une partition).

Du Lemme 2, on obtient que (n_1,...,n_{k-1}) est une partition de N - n_k.
Plus précisément, il est nécessaire que (n_1,...,n_{k-1}) appartienne à M(N-n_k) et que n_k appartienne à M(n_k), car sinon on pourrait construire une partition de N dont le produit des termes serait strictement plus grand que celui de (n_1,...,n_k), ou bien contenant strictement plus de termes que (n_1,...,n_k), ce qui contredirait l'appartenance de (n_1,...,n_k) à M(N).

Or, N - n_k < N. De plus, si l'on suppose que N - n_k <= 1, alors n_1 vaut au plus 1 car la somme de termes positifs n_1 + ... + n_{k-1} vaut N-n_k, ainsi n_k vaut au plus 1 par définition d'une partition, ce qui contredit le Lemme 1.
Donc 1 < N - n_k < N, ainsi, comme (n_1,...,n_{k-1}) appartient à M(N - n_k), alors par hypothèse de récurrence, on déduit que la partition (n_1,...,n_{k-1}) vaut 33...322, ou 33...32, ou 33...3, selon que N - n_k est congru à respectivement 1, 2 ou 3 modulo 3.

Ensuite, comme 1 < n_k < N d'après les Lemmes 1 et 2, et comme n_k appartient à M(n_k), alors par le Lemme 2, qui nous dit qu'une partition maximale d'un entier valant au moins 4 contient nécessairement au moins deux éléments, il est nécessaire que n_k, en tant que partition maximale de n_k ne contenant qu'un seul élément, vale moins que 4, c'est-à-dire que n_k = 1, 2 ou 3. Par le Lemme 1, on sait que n_k > 1, donc n_k = 2 ou 3.

Finalement, il est impossible que (n_1,...,n_{k-1}) vale 33...322, car alors (n_1,...,n_k) = 33...3222, ce qui n'appartient pas à M(N) car 2 + 2 + 2 = 3 + 3 et 2*2*2 < 3*3.
Donc (n_1,...,n_{k-1}) vaut 33...32 ou 33...3 et n_k vaut 2 ou 3, ce qui termine la récurrence.

Le 11 août 2021 à 12:59:32 :

Le 07 août 2021 à 15:05:01 :
Sinon voilà un petit exercice qui ne demande pas de connaissances

Soit un entier n, comment écrire n sous la forme d'une somme d'entiers tels que le produit de ces entiers est maximum ?

Par exemple pour n = 60

60 = 30 + 30

30*30 = 900

60 = 20 + 20 + 20

20*20*20 = 8000 donc (20,20,20) est un meilleur choix que (30,30).

Quel est le meilleur choix pour chaque n ?

Je propose ça par récurrence, j'ai pas vu plus simple.

SpoilAfficherMasquer

Employons le langage des partitions : on appelle partition d'un entier strictement positif n, toute liste (n_1,...,n_k) décroissante d'entiers strictement positifs dont la somme vaut n.
Par exemple, la liste 4221 est une partition de n = 9.
Pour tout entier n > 0, notons M(n) l'ensemble des partitions de n maximales d'abord pour le produit de leurs éléments (une telle partition est une réponse à l'exercice), et maximales ensuite pour le nombre de leurs éléments. Appelons partitions maximales les éléments de M(n).
Par exemple, on vérifie que
M(1) = { 1 }, M(2) = { 2 }, M(3) = { 3 }, M(4) = { 22 }, M(5) = { 32 }, M(6) = { 33 }, etc
(à chaque fois M(n) ne contient qu'une seule partition).

Réponse à l'exercice : montrons que pour tout n > 1, M(n) ne contient qu'un seul élément : la partition valant respectivement 33...322, ou 33...32, ou 33...3, selon que n est congru à respectivement 1, 2 ou 3 modulo 3.

On sait déjà que c'est vrai pour n = 2 et 3 (et même pour 4,5 et 6 mais peu importe).
Supposons que, pour un entier N > 3 donné, ce soit vrai pour n'importe quel entier 1 < n < N. Il suffit de montrer que c'est aussi vrai pour N.
Soit (n_1,...,n_k) un élément de M(N).

Lemme 1 : n_k > 1.
Preuve : sinon, n_k = 1, or dans ce cas (n_1+1,n_2,...,n_{k-1}) est une autre partition de N dont le produit des termes est strictement plus grand que celui de (n_1,...,n_k), ce qui contredit l'appartenance de (n_1,n_2,...,n_k) à M(N).

Lemme 2 : k > 1, autrement dit n_k < N.
Preuve : sinon k = 1, c'est-à-dire que le nombre n_1 = n_k vaut N et que le nombre N, en tant que partition à un élément de lui-même, appartient à M(N). Or, comme N >= 4, on a (N-2)*2 >= N, c'est-à-dire que la partition (N-2,2) de N a un produit de termes au moins aussi grand que N et strictement plus de termes que N, ce qui contredit l'appartenance de N à M(N).

Pour terminer la récurrence, il suffit de montrer que (n_1,...,n_{k-1}) = 33...32 ou 33...3 et que n_k = 2 ou 3 (car n_k n'excède pas n_{k-1} par définition d'une partition).

Du Lemme 2, on obtient que (n_1,...,n_{k-1}) est une partition de N - n_k.
Plus précisément, il est nécessaire que (n_1,...,n_{k-1}) appartienne à M(N-n_k) et que n_k appartienne à M(n_k), car sinon on pourrait construire une partition de N dont le produit des termes serait strictement plus grand que celui de (n_1,...,n_k), ou bien contenant strictement plus de termes que (n_1,...,n_k), ce qui contredirait l'appartenance de (n_1,...,n_k) à M(N).

Or, N - n_k < N. De plus, si l'on suppose que N - n_k <= 1, alors n_1 vaut au plus 1 car la somme de termes positifs n_1 + ... + n_{k-1} vaut N-n_k, ainsi n_k vaut au plus 1 par définition d'une partition, ce qui contredit le Lemme 1.
Donc 1 < N - n_k < N, ainsi, comme (n_1,...,n_{k-1}) appartient à M(N - n_k), alors par hypothèse de récurrence, on déduit que la partition (n_1,...,n_{k-1}) vaut 33...322, ou 33...32, ou 33...3, selon que N - n_k est congru à respectivement 1, 2 ou 3 modulo 3.

Ensuite, comme 1 < n_k < N d'après les Lemmes 1 et 2, et comme n_k appartient à M(n_k), alors par le Lemme 2, qui nous dit qu'une partition maximale d'un entier valant au moins 4 contient nécessairement au moins deux éléments, il est nécessaire que n_k, en tant que partition maximale de n_k ne contenant qu'un seul élément, vale moins que 4, c'est-à-dire que n_k = 1, 2 ou 3. Par le Lemme 1, on sait que n_k > 1, donc n_k = 2 ou 3.

Finalement, il est impossible que (n_1,...,n_{k-1}) vale 33...322, car alors (n_1,...,n_k) = 33...3222, ce qui n'appartient pas à M(N) car 2 + 2 + 2 = 3 + 3 et 2*2*2 < 3*3.
Donc (n_1,...,n_{k-1}) vaut 33...32 ou 33...3 et n_k vaut 2 ou 3, ce qui termine la récurrence.

Ouai c'est ça, c'est un peu compliqué, la démo d'eussoubougnader suffit. Tu peux lier le résultat avec le fait que pour maximiser a^b avec a*b constant, il faut choisir a = e. Ducoup tu peux intuiter que les entiers qui vont marcher c'est ceux les plus proches du nombre d'euler (donc 3, et si c'est pas possible 2).

Après tu peux généraliser le résultat en rajoutant une condition : la décomposition doit être faite avec des entiers distincts. C'est plus difficile.

[ECS1/MPSI] : Montrer que si la suite réelle a_{n+1} - a_n tends vers x (dans lR barre), alors il en est de même pour la suite a_n / n ...

Le 14 août 2021 à 19:46:07 :
Exercice : l'intérieur d'un coffre est un cube de longueur m. On dispose de lingots consistant en des pavés droits de dimensions a,b,c. Montrer qu'on peut remplir intégralement ce coffre avec des lingots si et seulement si m est un multiple entier de a (la longueur a multipliée par un nombre entier), de b et de c.

Indice : trouver une fonction numérique dont l'intégrale sur le volume d'un pavé droit quelconque de l'espace (parallèle aux axes d'un repère fixé) est nulle si et seulement si l'une des dimensions du pavé est un multiple entier de la longueur a.