Salut l'élite

J'ouvre ce topic pour qu'on y poste nos problèmes qu'on doit résoudre afin de s'amuser à résoudre des problèmes de maths

Les règles car on s'amuse pas sans règle

[Pas de troll]
Mettez en spoiler vos solutions
Pas poster des problèmes trop dur pour ensuite pas rédiger la solution (précisez le si vous l'avez pas)
Jouer le jeu en regardant pas la solution

Trêves de blabla, j'ouvre le premier problème des kheys

Merci le chevalier qui a fait posté ces beaux exercices

Bonne chance l'élite

Soit f : E -> F de classe C¹ avec E,F evn finis, de différentielle en tout point une isométrie vectorielle, montrer que f est une isométrie affine.

Le 17 février 2020 à 07:24:18 Nathyll a écrit :
Soit f : E -> F de classe C¹ avec E,F evn finis, de différentielle en tout point une isométrie vectorielle, montrer que f est une isométrie affine.

Il faut résoudre les problèmes dans l’ordre.
Résous d’abord celui de Geniedesco avant de poser le tiens.

Il faut résoudre les problèmes dans l'ordre ?
Ça ne fait pourtant pas partie des règles

Puis les problèmes de l'auteur étant niveau TS/L1 c'est pas très amusant pour ceux qui sont en M1 de les résoudre

Je propose un problème niveau L1/sup :

Soit E un ev de dimension finie. Soit f une fonction bijective. Et enfin F un sous-espace vectoriel de E.

1) Montrer que si F est stable par f, alors F et stable par f^-1.

2) Est-ce vrai si E est de dimension infinie ?

Contre-exemple de la question 4 : prendre x = 1/2, r = 1 et s = 2.

Pour que l'énoncé de cette question devienne vrai, il faut que x excède 1.

L'objectif de l'exercice étant de définir x^a quel que soit le réel positif x, adaptons la question 4 : "montrer que si r <= s, alors x^r <= x^s si x >= 1, sinon x^r > = x^s" et le reste de l'exo s'adapte facilement.

Correction d'erreur d'énoncé : f est un automorphisme de E (et pas une fonction bijective quelconque...)

Définition d'un isomorphisme ? je suis qu'un humble lycéen malgré tout

Le 17 février 2020 à 09:35:32 Blaine a écrit :
Contre-exemple de la question 4 : prendre x = 1/2, r = 1 et s = 2.

Pour que l'énoncé de cette question devienne vrai, il faut que x excède 1.

L'objectif de l'exercice étant de définir x^a quel que soit le réel positif x, adaptons la question 4 : "montrer que si r <= s, alors x^r <= x^s si x >= 1, sinon x^r > = x^s" et le reste de l'exo s'adapte facilement.

Ça va être compliqué de résoudre mon problème si on n'a pas en tête des notions et des théorèmes sur les ev, les morphismes et les dimensions...

Pour que tout le monde soit sur un pied d'égalité, on pourrait imposer que tous les problèmes soient accessibles à des lycéens...

J'ai un problème accessible pour un TS si tu veux :

Soit f une fonction continue définie sur [0,1] telle que pour tout x dans [0,7/10] , f(x) soit différent de f(x+3/10), et enfin telle que f(0)=f(1)=0.

Montrer que f s'annule au moins 7 fois sur [0,1].

Me demander une indication si besoin

Pour clarifier les choses, 0 et 1 sont déjà des points d'annulation de f par définition

Donc il ne reste qu'à montrer qu'il existe au moins 5 points d'annulations dans ]0,1[

Euh je pense qu’il serait efficace de noter le numéro du problème, par exemple :
Problème 163 : Soit ......
Et ensuite celui qui trouve la solution dise :
Solution problème 163 : Montrons...

Et ça serait sympa d’arrêter les problèmes de bac + car ya pas tout le monde en bac + ici...
Bref sur ce :

Problème 1 : Un nombre a 3 chiffres : x,y et z ( avec 0<x<y<z). La somme des 6 nombres en permutant ces 3 chiffres est 1554. Que vaut z ?

En vrai peu importe les notions abordées par un problème, un prépa ou un faqueux de longue date sera toujours avantagé par rapport à un lycéen, par exemple mon exo (qu'on va appeler problème 0 du coup...) est quand même dur pour un lycéen, mais plutôt facile pour un prépa car un prépa aura des réflexes qu'un lycéen n'aura pas.

Pourtant mon exo n'utilise que des notions vues en terminale

Alors autant ne pas interdire les exos niveau supérieur au final, faut que tout le monde y trouve son compte
On n'a qu'à préciser en plus le niveau du problème abordé dans notre énoncé

Donc je recommence :
Problème 0 ; niveau TS :

Soit f continue sur [0,1] telle que f(0)=f(1)=0 et telle que f(x) soit toujours différent de f(x+3/10)
Montrer que f s'annule au moins 7 fois sur [0,1]

Le 17 février 2020 à 09:28:19 Bahar a écrit :
Il faut résoudre les problèmes dans l'ordre ?
Ça ne fait pourtant pas partie des règles

Puis les problèmes de l'auteur étant niveau TS/L1 c'est pas très amusant pour ceux qui sont en M1 de les résoudre

Je propose un problème niveau L1/sup :

Soit E un ev de dimension finie. Soit f une fonction bijective. Et enfin F un sous-espace vectoriel de E.

1) Montrer que si F est stable par f, alors F et stable par f^-1.

2) Est-ce vrai si E est de dimension infinie ?

1) f^-1 est un polynôme en f.

2) Non
E=F=l^2(Z)
f( (u_n)_n ) = (u_(n+1))_n
f est bijective et même continue (c'est une isométrie)
l^2(N) est stable par f, mais pas stable par f^(-1)

Le 17 février 2020 à 16:16:52 Bahar a écrit :

Le 17 février 2020 à 14:07:07 Bahar a écrit :
Donc je recommence :
Problème 0 ; niveau TS :

Soit f continue sur [0,1] telle que f(0)=f(1)=0 et telle que f(x) soit toujours différent de f(x+3/10)
Montrer que f s'annule au moins 7 fois sur [0,1]

Sans vouloir me vanter; je suis en M1, j'ai majoré ma L3 à Lille et ... Je n'ai aucune traître idée de comment faire ton exo
Alors si un TS y arrive, je veux bien lui vendre ma mère

Plus sérieusement, une petite piste ? Avec un dessin, j'ai vite visualiser ce qui fait que ça va marcher ou non. La condition de non-égalité va imposer beaucoup de contrainte sur la courbe. Mais le mieux que j'ai réussi à faire c'est, avec bien des peines, de tête, à trouver au moins un zéro (sans compter les deux extrémités). Mais 7, carrément ! Je ne vois vraiment pas ...

Le 17 février 2020 à 20:28:11 Quiquine2 a écrit :

Le 17 février 2020 à 14:07:07 Bahar a écrit :
Donc je recommence :
Problème 0 ; niveau TS :

Soit f continue sur [0,1] telle que f(0)=f(1)=0 et telle que f(x) soit toujours différent de f(x+3/10)
Montrer que f s'annule au moins 7 fois sur [0,1]

Sans vouloir me vanter; je suis en M1, j'ai majoré ma L3 à Lille et ... Je n'ai aucune traître idée de comment faire ton exo
Alors si un TS y arrive, je veux bien lui vendre ma mère

Plus sérieusement, une petite piste ? Avec un dessin, j'ai vite visualiser ce qui fait que ça va marcher ou non. La condition de non-égalité va imposer beaucoup de contrainte sur la courbe. Mais le mieux que j'ai réussi à faire c'est, avec bien des peines, de tête, à trouver au moins un zéro (sans compter les deux extrémités). Mais 7, carrément ! Je ne vois vraiment pas ...

Ca se rapproche fortement des exos utilisant le "théorème de la corde universelle". Si c'est ça, c'est à la fois galère pour un L1 voire un capétien (et peut-être même pour un agrégé)

Le 17 février 2020 à 20:28:11 Quiquine2 a écrit :

Le 17 février 2020 à 14:07:07 Bahar a écrit :
Donc je recommence :
Problème 0 ; niveau TS :

Soit f continue sur [0,1] telle que f(0)=f(1)=0 et telle que f(x) soit toujours différent de f(x+3/10)
Montrer que f s'annule au moins 7 fois sur [0,1]

Sans vouloir me vanter; je suis en M1, j'ai majoré ma L3 à Lille et ... Je n'ai aucune traître idée de comment faire ton exo
Alors si un TS y arrive, je veux bien lui vendre ma mère

Plus sérieusement, une petite piste ? Avec un dessin, j'ai vite visualiser ce qui fait que ça va marcher ou non. La condition de non-égalité va imposer beaucoup de contrainte sur la courbe. Mais le mieux que j'ai réussi à faire c'est, avec bien des peines, de tête, à trouver au moins un zéro (sans compter les deux extrémités). Mais 7, carrément ! Je ne vois vraiment pas ...

Moi j'en ai trouvé 2 avec des disjonctions de cas sur le premier 0, mais je doute que ça soit la bonne méthode pour aboutir, sinon au cinquième 0 les disjonctions de cas seraient titanesques !
Il doit y avoir une astuce.
Et moi aussi je trouve ça dur, je suis en sup et je n'y arrive pas

Le 17 février 2020 à 14:07:07 Bahar a écrit :
En vrai peu importe les notions abordées par un problème, un prépa ou un faqueux de longue date sera toujours avantagé par rapport à un lycéen, par exemple mon exo (qu'on va appeler problème 0 du coup...) est quand même dur pour un lycéen, mais plutôt facile pour un prépa car un prépa aura des réflexes qu'un lycéen n'aura pas.

Pourtant mon exo n'utilise que des notions vues en terminale

Alors autant ne pas interdire les exos niveau supérieur au final, faut que tout le monde y trouve son compte
On n'a qu'à préciser en plus le niveau du problème abordé dans notre énoncé

Donc je recommence :
Problème 0 ; niveau TS :

Soit f continue sur [0,1] telle que f(0)=f(1)=0 et telle que f(x) soit toujours différent de f(x+3/10)
Montrer que f s'annule au moins 7 fois sur [0,1]

Moi j'vois ça je pense à Rolle, et si Rolle marche pas eh bah tant pis j'ai que ça
Mais vu que rien ne dit que f est dérivable eh bien