Bonjour je bloque sur cet exercice

J’ai fait la 1 ère question mais je bloque à la 2eme.
J’ai essayé de faire une récurrence en dérivant f dérivée n-ieme mais je vois pas comment avoir les 2 suites
Merci de votre aide.

1/sqrt(1 - 4x) = 1*(1 - 4x)^(-1/2).
Donc a_0 = 1 et b_0 = -1/2.

Si tu dérives a_n(1 - 4x)^(b_n), ça donne -4*a_n*b_n*(1 - 4x)^(b_n - 1). On en déduit que
a_(n+1) = -4*a_n*b_n et b_(n+1) = b_n - 1.

De là on déduit b_n en fonction de n, puis a_n en fonction de n.

D’accord merci, donc on fait bien une récurrence du coup ?
On a lors bn=-1/2 -n
Et An+1=-4an(-1/2 -n)
?

C'est ça. La seconde égalité tu peux aussi l'écrire a_(n+1) = (4n + 2)*a_n.

D’accord merci.
Pour la récurrence de la Q4,
J’en suis à An+1=(4n+2)((2n)!/n!), j’arrive pas à dérouler pour obtenir (2n+2)!/(n+1)!

4n + 2 = (2n + 1)(2n + 2)/(n + 1).

Effectivement je viens de m’en rendre compte, du coup j’ai directement ce que je cherche.
Qund je dois exprimer up en fonction de p je calcule la somme. Le soucis c’est que la formule somme des a^k s’applique pas puisqu’il y a u_k?

D'après la formule de Taylor-Young, u_p = f^{(p)}(0)/p!.

Ah ok du coup pour la question suivant en fait j’ai :
f^{(p)}(0)/p! * x^p
Et si on le calcule pour f^2
f^{(2p)}(0)/p! * x^p
Je vois pas du tout le lien avec la somme à calculer par contre
J’ai essayé de traduite tout ça avec la définition des coefficients binomiaux

Ça me fait (2k)!/k!^2 * (2p-2k)!/(p-k)!^2

Déjà t'as u_p = f^{(p)}(0)/p! = (2p)!/(p!)² = (p parmi 2p).

Et si on le calcule pour f^2

f^{(2p)}(0)/p! * x^p

Euh non pas du tout, ne confonds pas dérivation et puissance. Le DL de f^2 c'est le DL de 1/(1 - 4x), que tu obtiens facilement.

Ok du coup en faisant le DL de f^2 j’ai
1+4x+16x^2+64x^3+...+ 4^p*x^p non ?

Et d’ailleurs j’ai pas compris comment tu passes de f^{(p)}(0)/p! = (2p)!/(p!)²

f^{(p)}(0) = a_p = (2p)!/p!

Ah ok je vois. Et pour le DL de f^2 on a 1+4x+16x^2+64x^3+...+ x^p*up ?

Non pas u_p mais 4^p.

Oui c’est une erreur de ma part, je l’avais mis dans le précédent post. Mais du coup je tombe pas sur p-k parmi 2p-2k

Quand tu développes f(x)*f(x) = (somme_{k = 0}^n u_k x^k) ^ 2, le coefficient devant x^p est somme_{k=0}^p u_k u_{p-k}.
Or u_k = (k parmi 2k), donc tu retrouves S_p. Et donc, avec le développement de f², on obtient S_p = 4^p.

En fait je comprend pas le p-k et le fait que le coefficient devant x^p est somme_{k=0}^p u_k u_{p-k}.

Quand tu développes le produit, pour obtenir des termes de degré p, il faut que tu multiplies des termes de degré k par des termes de degré n-k. Prends deux polynômes au pif (de degré 5) par exemple, et développe leur produit, tu vas comprendre.

PS : dans mon post précédent j'ai écrit f(x)*f(x) = (somme_{k = 0}^n u_k x^k) ^ 2, c'est faux. Pour obtenir f(x) faut rajouter le o(x^p). Mais ça change rien au résultat.