voilà. mais fondamentalement ce qui relève de la magie noire c'est de chercher des solutions sous la forme f(r)*g(t), ça va te donner des solutions mais qui te dit que ça te les donnera toutes...
non, la vraie idée quand même c'est de chercher sous la forme d'une série de fourier, sachant qu'une fonction raisonnable et périodique peut s'écrire de cette manière. pour aller un peu plus loin, il faudrait même utiliser la transformée de fourier : là, t'as très peu d'hypothèses sur les fonctions pour qu'elles admettent une TF, et donc tu as globalement toutes les solutions possibles

Si il existe une combinaison linaire de ces fonctions qui vérifient les conditions initiales et les conditions aux limites alors elle est nécessairement unique non? Puisqu'en physique il n'y a qu'un scénario possible (dans la mesure ou il y a le bon nombre de conditions initiales/limites)
Et si il n'existe pas de telle combinaison linéaire alors c'est qu'il manque des solutions, je suppose

Le 22 mars 2018 à 23:01:28 MecaFlu a écrit :
non, la vraie idée quand même c'est de chercher sous la forme d'une série de fourier

Fourier pour des fonctions de une variable je vois très bien, mais là moins, à quoi ça ressemble pour une fonction de 2 variables (ou plus)?
L'exponentielle décroissante qu'il y a dans la solution du pdf ça ne ressemble pas à du fourier si?
A moins qu'il faille rechercher la solution sous la forme d'une somme de a(t)cos(kr)+b(t)sin(kr) plutôt?

Autre question, en math on résout presque toujours les EDP par changement de variable, pour l'équation de d'Alembert on obtiens de la forme f(x+ct)+g(x-ct) par exemple
Pourquoi n'utilisons nous jamais cette méthode en physique? Ça ne s'adapte pas au domaine borné?

La serie de Fourier est spatiale, la decroissance temporelle vient simplement du flux au bord (avec ta condition limite tu as quelque chose du genre dT/dt = T_paroi-T, qui donne une exponentielle decroissante). J'imagine que la demonstration est faite dans le pdf, mais intuitivement ca se comprend qu'on ait ce terme..

Pour les changements de variables, c'est tres commun en physique. Ici la dichotomie maths/physique n'a pas grand sens de toutes facons, les equations etudiees en maths le sont parce qu'elles viennent de modeles physiques. Un changement de variable en x-ct se fait quand, pour certaines raisons, tu t'attends a avoir (ou tu forces la solution a etre) une onde qui se deplace a la vitesse c. Typiquement si tu as quelque chose du genre dy/dt - c*dy/dx=0 alors ce changement de variable est naturel (fais le, tu verras ce que ca donne). Et pour d'alembert tu peux voir que c'est le produit de dy/dt - c*dy/dx et de dy/dt + c*dy/dx, d'ou l'idee de chercher des ondes qui se propagent des deux cotes. Et si, ca marche aussi quand le domaine est borne

Enfin pas le produit de ces deux termes, pardoon, mais c'est la composition des operateurs differentiels... d2/dt2-c2*d2/dx2=(d/dt-cd/dy)(d/dt+cd/dy)

Alors pourquoi pour le problème de la corde vibrante on cherche les solutions sous forme de série de fourier et non en adaptant la forme f(x-ct)+g(x+ct) aux conditions initiales/limites?

tu peux expliciter?

Pour le problème de la corde vibrante, on cherche à résoudre d2(f)/dt2=c2*d2(f)/dx2 pour f(0,t)=f(L,t)=0
Pour résoudre la méthode classique consiste à chercher les solutions de la forme g(x)h(t)

Alors qu'en l'absence de conditions aux limites, en math et en électromag, on résout l'équation de d'Alembert par changement de variable en posant u=x-ct et v=x+ct
Ce qui donne au final f(x,t)=g(x-ct)+f(x+ct)

Étant donné que cette dernière méthode est largement plus efficace numériquement, je me demandais pourquoi on ne l'utilise pas pour le problème de la corde vibrante

La corde vibrante tu cherches que les modes stationnaires, tu te limites donc aux solutions où temps et espace sont découplés.

Après il me semble bien avoir déjà résolu bêtement l'équation des ondes sans hypothèse particulière et on retombe bien sur le cas particulier avec le bon jeu de conditions aux bords.

ce qu'a dit le VDD

Après il me semble bien avoir déjà résolu bêtement l'équation des ondes sans hypothèse particulière et on retombe bien sur le cas particulier avec le bon jeu de conditions aux bords.

Càd? Tu pars de la forme f(x-ct)+g(x+ct) et tu utilises tes conditions initiales et aux limites pour retrouver la même solution qu'avec fourier? J'ai essayé et j'y arrive pas

https://en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_formula#Details te donne les expressions de f et g, et donc celle de y(x,t)
(faut chercher un peu de temps en temps quand même )

[10:09:30] <MecaFlu>
https://en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_formula#Details te donne les expressions de f et g, et donc celle de y(x,t)
(faut chercher un peu de temps en temps quand même )

La on est en problème non borné encore une fois, x est dans R alors que pour la corde vibrante x est dans un segment
Mais ça doit pouvoir s'adapter effectivement

l'équation portant sur u reste inchangée, tu vois que ça dépend de x-ct/x+ct et pas du tout des limites...?