Bonsoir,

Soit un cylindre infini à une température uniforme T0 entouré d'air à température uniforme et constante Text
On peut démontrer que dans le cylindre, T vérifie dT/dt=(A/r)*d[r*dT/dr]/dr avec A une constante

Ma question concerne les conditions aux limites, je ne sais pas comment m'y prendre pour prendre en compte le transfert conducto-convectif au niveau de la paroi du cylindre
Dois-je considérer que sur la paroi la température du cylindre vaut Text pour t>0?

Sans plus d'information, la condition limite est un Dirichlet valant Text.
La convection est un problème bien plus complexe.

Pour la résolution, tu dois pouvoir faire une petite séparation des variables T(r, t) = g(r)f(t)

Mais pour certains problèmes on fait comme approximation que le flux thermique est proportionnel à la différence de température entre la surface et le gaz à l'infini, ça semble bien moins sale comme hypothèse, il y a pas moyen de prendre ça en compte?

Oui, tu peux assumer un flux en condition limite en fixant dt/dr en r=ton rayon

dT/dr en r=ton rayon (juste pour être sûr qu'il confonde pas T et t)

[00:18:05] <blue-tamere>
Oui, tu peux assumer un flux en condition limite en fixant dt/dr en r=ton rayon

Quel est le lien entre le flux et dT/dr?
À part F=hS(Text-T(R)) (F le flux thermique rentrant) je vois pas

Loi de Fourier

[09:38:46] <MecaFlu>
Loi de Fourier

Avec la loi de Fourier on peut relier le flux au gradient de température dans le cylindre, pas entre le cylindre et l'air si?

tu as F = - lambda dT/dr pour tout r
si R est le rayon de ton cylindre, tu peux poser la condition F(r=R) = hS(Text - T(R)), donc -lambda dT/dr|r=R = hS(Text - T(R)) (qui est une condition aux limites un peu particulière, mais ça se fait)

Bien vu, merci à vous 3 c'est ça que je cherchais

En fait je n'arrive pas à résoudre, il n'y a pas de solutions de la forme f(r)g(t) à cause de la condition aux limites qui impose g(t)=cte

C'est censé te donner une exponentielle décroissante. Mais sinon cherche du côté des séries de Fourier

Ouais en général ces problèmes ont des solutions qui s'expriment bien avec des séries de Fourier. Si tu ne trouves pas je pourrai checker, je crois que j'ai un bouquin qui donne les solutions analytiques des problèmes canoniques en transfert de chaleur.

Après faut voir ce que tu cherches. Si par exemple tu veux juste avoir une idée du temps caractéristique qu'il faut pour que ton cylindre atteignent la température ambiante, pas besoin forcément de résoudre l'équation analytiquenent.

T'as ce pdf très bien avec plein de cas traités, le tien l'est sûrement aussi http://www.thermique55.com/principal/thermique.pdf

Un problème s'en rapproche beaucoup page 54-55, c'est exactement le même mais pour une sphère et non un cylindre, je verrais ça ce week-end ou demain
Et Fourier pour ce problème je suis vraiment pas convaincu
Pour le problème de la corde vibrante, Fourier apparaît naturellement quand on cherche les solutions de la forme f(x)g(t) mais là ça ne marche pas du tout à cause de la condition aux limite

Ah non en fait mon problème est traité page 51, merci beaucoup du coup

Juste comme ça, Fourier fonctionnera toujours ici. C'est pas pour rien que Fourier a son nom associé aux séries et à la loi de thermique. Et fondamentalement ça ne dépend pas des conditions aux limites, c'est comme si tu disais que la variation de la constante ne fonctionnait pas à cause d'une condition initiale...

Pourtant là les conditions aux limites imposent que T ne dépend pas du temps si T(r,t)=f(r)g(t)! Ou alors j'ai fait n'importe quoi mais c'est ce qu'on prouve en injectant f(r)g(t) dans -lambda dT/dr|r=R = hS(Text - T(R))

Et puis dans le cas général, qu'est ce qui me garantie que la solution est bien de la forme f(r)g(t)?

Je crois que j'ai compris le problème, on cherche les solutions de l'équation sous la forme f(r)g(x), on trouve un certain nombre de fonction de cette forme les vérifiant et c'est leur somme qui doit vérifier la condition aux limite

Enfin j'ai quand même l'impression que c'est de la magie noire

On trouve en fait une famille de fonction qui vérifient le problème (paramètre w_n dans le pdf).
Le problème étant linéaire, toute combinaison linéaire de solutions est aussi solution.
Il reste à déterminer les "coefficients" de ces combinaisons linéaires à partir des CL.