Salut. Mes partiels sont la semaine prochaine et j'aurai plusieurs questions probablement. Plutôt que polluer le forum avec dix milles questions je fais un petit topic.

Déjà, je pense que c'est vrai mais comment prouver que si on considère x et y deux points d'un espace métrique et f une fonction, alors si k est une constante :

d(k-f(x),k-f(y)) = d(f(x),f(y)) ?

Merci!

T'es en quel année?

C'est quoi k - f(x) ? Y'a une somme sur ton espace métrique ? Si c'est un espace vectoriel normé ok, sinon...

L3.
Ah oui j'suis un blaireau, ça répond à ma question du coup Prauron. Merci.

Hey.

Ici, j'arrive pas à calculer p(r).
Je sais que c'est P(x² + y² = r) mais après...

Cr c'est pas plutôt le disque que le cercle ? Sinon ça fait 0...

C'est le sujet officiel. Mais sinon ça fait 0 parce que c'est un ensemble négligeable? Et si c'était pas le cercle mais le disque, est ce que ça paraît juste de vouloir calculer P(x^2 < r- y^2) en passant par la fonction de répartition liée à la première variable?

Et autre question, http://anne.vaugon.vwx.fr/ACTD5_cor.pdf ici pour l'exo 1 (c'est de l'analyse complexe), pourquoi le principe du module maximal permet de déduire que le sup est inférieur à 1/r?

Le principe dit que si f est analytique sur un domaine U et que f est non constante alors |f| n'admet pas de maximum local.

Merci beaucoup, encore.

Tu es où cette année kwns si c'est pas indiscret ?

Oui c'est 0 parce que le cercle est négligeable pour la mesure de Lebesgue sur [-1,1]^2.
Et si c'est le disque, le plus simple c'est d'utiliser la définition de la loi uniforme, ce qui donne aire(disque)/aire(carré).

Le principe du maximum te dit que le maximum de |g| sur le disque fermé de rayon r est atteint sur sa frontière, donc sur l'ensemble des z de module r. Or si |z| = r, |g(z)| <= 1/r. Donc à l'intérieur du cercle c'est plus petit que sur le bord, donc plus petit que r.

Merci pour les probas.
Donc en fait, le principe du module maximal dit que |g| n'a pas de maximum local i.e qu'il n'existe pas de boule autour d'un point z0 tq pour tout z de cette boule, |g(z)|<=|g(z0)|. Donc nécessairement le maximum est forcément sur la frontière car c'est les seuls points où on ne peu pas construire de boules?

Oui c'est ça. Plus précisément, la fonction atteint son max sur la frontière, et si y'a un max à l'intérieur, c'est que la fonction est constante.

(Merci )

J'ai une question en calcul diff. J'ai du mal à saisir les objets avec lesquels on travaille.
Par exemple on dit que f (de R^n dans R^p) est dérivable en x si f'(x) € L(R^n,R^p) telle qu'elle vérifie une certaine propriété.
(prenons le cas n = 2)
On a pour x, y € R:

où la dérivée par rapport à y est f'(x,y).e2 (où e2 est le vecteur 2 de la base canonique).

or f'(x,y).e2 € R^p non ?
Pourquoi on dit que la dérivée partielle de f par rapport à y est une application linéaire ?

Merci.

f'(x,y), qu'on peut aussi noter df_{(x,y)} est une application linéaire de R^n dans R^p, la différentielle de f au point (x,y). Comme c'est une application linéaire, elle est entièrement déterminée par son image sur une base. Si on prend la base canonique, f'(x,y) appliquée au vecteur e1 donne un vecteur de R^p, que tu notes f'(x,y).e1, qui est la dérivée partielle de f par rapport à la première variable, au point (x,y). Il se trouve que c'est le nombre qu'on obtient quand on dérive (usuellement) par rapport à x en laissant fixes les autres variables.
Donc oui la dérivée partielle est bien un vecteur de R^p, mais ça n'est pas une application linéaire. L'application linéaire c'est f'(x,y).

Je comprends. Enfin, je comprends que pour x,y on a f'(x,y) qui est linéaire et donc f'(x,y).ei € R^p.

Mais dans ce cas là, pq on note : ?
Genre dans le théorème (trouvé sur Wikipédia) des fonctions implicites, on a D2f(x0,y0) qui est inversible. Donc c'est une fonction mais de quelle variable ? Parce que par def, D2f(x0,y0) c'est pas f'(x0,y0).e2 ?

Dans ce cas, D2f(x0,y0) désigne la différentielle partielle (et non la dérivée partielle), i.e. la différentielle de l'application y -> f(x0,y), évaluée en y0. Mais cette application partielle peut elle même être une fonction de plusieurs variables, puisque là x et y appartiennent à des espaces de Banach quelconques E et F. Donc D2f(x0,y0) est bien une application linéaire.
Dans le cas particulier où E x F est R x R, alors D2f(x0,y0) est l'application linéaire de R dans R qui à y associe df/dy(x0,y0)*y, et tu retombes sur la notion de dérivée partielle.
Le calcul diff c'est chiant parce que t'as 10000 notations différentes, pas toujours très explicites, parfois t'as une même notation qui peut désigner des choses différentes selon les auteurs... Il y a de quoi s'y perdre je trouve.

Ah putain c'était qu'une question de notations?
Genre si je pose g : y -> f(x0,y) alors g'(y) € L(F,G) donc g'(y0) € L(F,G) or D2f(x0,y0) = g'(y0) donc linéaire.

Mais en même temps, D2f(x0,y0) = f'(x0,y0).e2 € G (j'ai compris que c'était pas le même objet mais c'était pour vérifier qu'on a bien une notation pour deux choses différentes?)

Ouais, j'te le fais pas dire. C'est pas inintéressant mais damned, que c'est lourd.

Ouais voilà. Après moi j'aime pas la notation f'(x,y). Et pour le premier objet, la différentielle partielle, je l'aurais noté df/dy(x_0,y_0), comme une dérivée partielle, tout en gardant à l'esprit que c'est une application linéaire.
Pour la différentielle de f au point M, évaluée en h, je note df_M(h), ou df_M.h (parce qu'en fait pour une fonction à valeurs dans R c'est juste un produit scalaire avec le gradient). C'est vrai que c'est chiant quand les différents profs et les différents beaucoup ont chacun leurs propres habitudes.

Au cas où ça t'intéresse un pote m'a conseillé le bouquin de calcul différentiel chez cassini, il est pas mal du tout car dans sa rédaction il évite les notations chiantes liées à la technicité des preuves en hypothèse minimale par ex, fait des beaux dessins, a des notations claires etc...

Et les nombreux exos ont l'air cool.

Ça complète bien un cours plus aride je pense.

Le 24 octobre 2017 à 01:43:08 W_Wenders a écrit :
Au cas où ça t'intéresse un pote m'a conseillé le bouquin de calcul différentiel chez cassini, il est pas mal du tout car dans sa rédaction il évite les notations chiantes liées à la technicité des preuves en hypothèse minimale par ex, fait des beaux dessins, a des notations claires etc...

Et les nombreux exos ont l'air cool.

Ça complète bien un cours plus aride je pense.

Je conseille le bouquin de Cartan perso

J'ai une question.
L'inégalité des accroissements finis dit :

norme de (f(y)-f(x)) <= norme de (y-x) * max (de norme de f')

Mon charge de TD a dit que norme de (f(y)-f(x))= norme de (y-x) * f'(z) avec z entre x et y

Mais est ce vrai ? Merci.