Salut,

Je bloque sur un exo que j'ai à faire en DM. Il porte sur la recurrence et je galère au niveau de l'hérédité. Si quelqu'un pouvait m'aider s'il vous plaît

Alors, il faut prouver par recurrence avec n ≥ 4 que 3^n>n^3

Salut.

On commence par quoi quand on fait ce type de raisonnement?

L'initialisation, je l'ai faite. La propriéte est vraie quand n ≥ 4. Je bloque à l'hérédité quand il faut montrer que 3k+1 > (k+1)^3

Nous savons que 3k>3^3 avec n ≥4 on est d'accord
3k+1=3k*3>3k^3

Maintenant je ne sais pas comment passer de 3k^3 à (k+1)^3 qui me permeterai de prouver l'hérédité :/

oulah tu t'es tout embrouillé, t'as marqué des trucs faux aussi bref passons.

Tu dois montrer par récurrence sur n>=4 que 3^n>n^3. (*)

Initialisation tu l'as faite ok.

Hérédité tu dois montrer ta propriété au rang n+1, en supposant que au rang n ce soit vraie. Et à la fin tu auras montré (*)

au rang n+1 (*) s'écrit 3^(n+1) >= (n+1)^3
tu dois montrer ça, tu vas utiliser pour cela ta supposition c.a.d (*).

Je suis d'accord, mais justement je ne sais pas comment faire car je l'avais déjà écrit tout ça. Je n'arrive pas à montrer que la propriété est vraie au rang n+1, je ne vois pas les étapes à faire...

On est d'accord que 3^k+1 = 3^k*3 ?
Si c'est vrai on multiplie aussi de l'autre côté ça nous fait
3^k>k^3
3^k*3>3k^3

Je voudrais passer de 3k^3 à (k+1)^3 pour prouver l'hérédité..
Désolé j'essaye d'être le plus clair possible

c'est assez lourd à te suivre.

déjà ta récurrence elle est sur n donc reste sur n.

ensuite les parenthèses c'est obligatoire.

3^n+1 =/= 3^(n+1).

Désolé, c'est comme ça que l'on fait en classe...
Oui, ne t'inquiètes pas je ne les oublis pas à l'écrit
Je suis vraiment bloqué si tu pouvais me donner une petite piste pour entamer le calcul, ça serai vraiment sympa...

on suppose que 3^n>n^3

donc tu peux en déduire que 3^(n+1)>3n^3 (multiplication par 3).

et donc?

sinon met tout ton sujet, ça me paraît curieux pour un TS une récurrence sans rien comme ça.

Fais gaffe avec l'hérédité, tu dois garder l'hypothèse "n>=4" parce que P(n) => P(n+1) est faux en général (P(2) est vrai mais pas P(3))

Justement c'est le "et donc ?" qui me manque, j'avais déjà trouvé ce que tu m'as dis, c'est ce que j'essayais de te dire mais bon, j'ai mal expliqué

Et pour passer de 3k^3 à (k+1)^3 tu dois multiplier par ((k+1)^3)/3(k^3), le problème c'est que ce nombre est plus petit que 1 pour k grand donc tu ne peux pas conclure, il te faut trouver un autre moyen, en multipliant des deux côtés par (k+1)3/k3 par exemple, ça marchera peut-être..

bon tu vois pas où je veux en venir ?

on exprime le but en fonction des donnés.

On a 3^n>n^3 on en déduit 3*3^n>3n^3 ÷t on veut montrer que 3^(n+1)>(n+1)^3.

on écrit 3^(n+1)=3*3^n>n^3+n^3+n^3>...>... >...>...>(n+1)^3

plus qu'à trouver ceux qu'il y'a entre.

sachant que
(n+1)^3=(n^2+2n+1)(n+1)=n^3+3n^2+3n+1.

Un tout autre moyen serait peut-être d'étudier la fonction 3^x - x^3, mais il faut avoir vu la fonction exponentielle pour pouvoir l'étudier.

Attend je crois que j'ai dit un peu de la merde, si (k+1)^3 / 3k^3 est plus petit que 1 ça va justement marcher

j'essaie de le guider vers une solution simple, et toi tu débarques exponentielle et compagnie...:hap:

" on écrit 3^(n+1)=3*3^n>n^3+n^3+n^3>...>... >...>...>(n+1)^3 "
Comment peut on affirmer qu'avec ça, 3*3^n>(n+1)^3, j'ai peur de ne pas comprendre...

(n+1)^3=(n^2+2n+1)(n+1)=n^3+3n^2+3n+1.
Elle est importante cette donnée, il faut que je l'utilise ?

Hein ? Mais c'est pas compliqué de montrer que (k+1)^3 / 3k^3 est plus petit que 1 pour k>=4

J'ai écris :

3*3^n>n^3+n^3+n^3>n^3+3n^2+3n+1=(n+1)^3
Donc 3*3^n>(n+1)^3
Donc 3^(n+1)>(n+1)^3 avec n>=4