En fait ça fait pas vraiment une partition car si x et x' sont en relation (la relation étant "xRx' ssi il existe y dans G tel que yxy-1 = x'), alors C(x)=C(x').

En revanche si on considère les ensembles distincts deux à deux qu'on obtient, ça fait bien une partition mais bon ça m'a l'air mieux que ce que j'ai fait déjà

Je vais essayer d'avancer encore

C'est gentil mais je veux pas de preuve, juste une piste, supprime ton post avant que je sois tenté de regarder stp

Tu es bien parti tkt
Tes classes réalisent bien une partition si tu prends un seul représentant par classe pour avoir des ensembles disjoints comme tu as dit

Je vais écrire avec la police d'écriture de jvc, j'espère que ce sera lisible.

On peut dire que "Somme des card(C(x)) pour x dans G/C(x)"=p^n (par abus de notation entre l'élément x et sa classe, mais osef)

Or, l'un d'entre eux vaut 1 (la classe de l'élément neutre), donc forcément d'autres valent 1, sinon ils sont tous multiples de p, et comme la somme vaut p^n où n>1, c'est p divise 1, c'est absurde

C'est bon ?

Attend du coup je vois pas où j'ai utilisé l'hypothèse "n>=2", il doit manquer un truc non ?

Tu as pas besoin de faire un raisonnement par l'absurde, une preuve directe marche très bien ici
Combien tu as de classes d'équivalence qui sont réduites à 1 élément ?

Comme tous les cardinaux divisent p^n (cf question 1) si C(x) est différent de 1, il est divisible par p.
Comme C(e)=1, il doit forcément y avoir d'autres x tels que C(x)=1 (il y en a p-1, ou p2-1, ou p3-1... De classes différentes deux à deux)

Si c'est pas ça, j'ai compris de travers.

Oui il a plusieurs classes qui contiennent qu'un seul élément, mais combien il y en a exactement ?

En gros, que peux tu dire de x si card C(x) = 1 ?

Que x est central, c'est ce qu'on voulait

du coup tu obtiens bien comme tu l'as dit p^n = card(Z(G)) + (des trucs divisibles par p) et on peut conclure

Ouais, merci beaucoup

D'ailleurs ce raisonnement, en plus de la réponse, va sûrement m'aider pour la 3

Ceci j'ai toujours pas vu où l'hypothèse "n>=2" intervient

Tu peux essayer pour n=1 si tu veux

Pour n=1 il existe un élément x0 d'ordre p d'après l'exo 1 donc G=gr({x0}) donc a fortiori abélien.

Mais la preuve n'a rien à voir