On me demande de montrer par récurrence que e^x >= somme pour k allant de 0 à n des x^n/n! avec n>= 1

J'arrive bien à initialiser vu qu'avant on avait montré avant que e^x >= x+1 mais pour montrer l'hérédité de la propriété je vois pas trop

J'ai séparer le sigma pour faire apparaître l'hypothèse de récurrence mais je vois pas vu qu'entre n et n+1 on ajoute le terme x^(n+1)/(n+1)! à la somme mais je dois montrer que même en ajoutant ce terme la somme reste inférieure ou égale à e^x ?

comment faire ?

Dérive

Le 09 septembre 2017 à 13:25:40 the_ff3_fan a écrit :
Dérive

Le 09 septembre 2017 à 13:25:40 the_ff3_fan a écrit :
Dérive

Comment on dérive une factorielle ?

Comment on dérive 5 ?

Comment on dérive 4 ?

Ça m'aide pas

[13:58:05] <Tanadray>
Ça m'aide pas

Ben si, une factorielle c'est juste un produit. Je pense que tu es capable de dériver un produit

Comme dérivée de x^k/k ! Je trouve x^(k-1)/(k-1)!

Tu vois bien que tu sais

Parce que je pensais que la factorielle était une variable mais non en fait

Mais je vois pas en quoi çà m'aide pour la récurrence...

Comment je montre e^x>= somme de 0 à n+1 de x^k/k !

Intègre de chaque côté de 0 à x.

J'intègre quoi inégalité ? mon hypothèse de récurrence ?

Quelle*

Je trouve e^x supérieur à 1+ somme pour k allant de 0 à n+1 des x^k/k ! Mais ça m'a l'air bizarre

L'intégrale de la somme de 0 à n des x^k/k! c'est la somme de 1 à n+1 des x^k/k!

Pourquoi la somme intégrée commence à 1 et pas 0 ?

1 -> x
x -> x²/2
x²/2 -> x^3/3!
...
x^n/n! -> x^(n+1)/(n+1)!

Mais si on commence à 0le premier terme est nul donc la somme ne change pas non ?

Le 09 septembre 2017 à 15:03:55 Carapucelle a écrit :
L'intégrale de la somme de 0 à n des x^k/k! c'est la somme de 1 à n+1 des x^k/k!

Mais du coup comment j'en déduis que la propriété est toujours vrai au rang n+1 ? Je n'arrive pas à saisir l'intérêt de la récurrence pour prouver cette propriété en quoi le fait que e^x soit supérieur à la somme avec le rang n peut impliquer qu'elle le soit avec le rang n+1 (si le terme ajouté est positif)

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