Ta question 4 est fausse. La matrice d'un endomorphisme c'est une matrice carrée. Et elle doit contenir des scalaires (qui sont les coefficients des combinaisons linéaire), pas des fonctions !

En effet, ça me paraissait bizarre mais bon.

Voilà donc :

C'est bon ?

Pour la matrice c'est bon.

Par contre pour la question 5 ça va pas. Tu écris que ker phi est un sous-espace de R⁴, alors que ça doit être un sous-espace de E, qui est un espace de fonctions.

Cela dit, trouver la noyau de la matrice de phi dans la base (f1,f2,f3,f4) te permet quand même de trouver le noyau de phi. En fait là tu trouves vect((0,0,1,0)) pour le noyau de la matrice, donc le noyau de phi c'est vect(f3).

Une autre façon de répondre à la question, c'est simplement d'utiliser la définition du noyau. f appartient à ker phi si et seulement si phi(f) = 0, si et seulement si f est solution sur ]0,+oo[ de l'équation différentielle x*y'(x) - y(x) = 0. T'as plus qu'à résoudre cette équation, ses solutions sont exactement le noyau de phi.

J'arrive pas à upload le reste, mais pour la 6 j'ai mis :

-> Im φ = Vect (f_3 , -f_2 + f_4 , -f_4)

Dim Im φ = Rang φ = 1

-> Comme f_3 , -f_2 + f_4 , -f_4 ne sont pas proportionnels, ils forment une famille libre. Or, comme cette famille est aussi génératrice, c'est une base de E.

Le 13 mai 2017 à 15:54:40 Prauron a écrit :
Pour la matrice c'est bon.

Par contre pour la question 5 ça va pas. Tu écris que ker phi est un sous-espace de R⁴, alors que ça doit être un sous-espace de E, qui est un espace de fonctions.

Cela dit, trouver la noyau de la matrice de phi dans la base (f1,f2,f3,f4) te permet quand même de trouver le noyau de phi. En fait là tu trouves vect((0,0,1,0)) pour le noyau de la matrice, donc le noyau de phi c'est vect(f3).

Une autre façon de répondre à la question, c'est simplement d'utiliser la définition du noyau. f appartient à ker phi si et seulement si phi(f) = 0, si et seulement si f est solution sur ]0,+oo[ de l'équation différentielle x*y'(x) - y(x) = 0. T'as plus qu'à résoudre cette équation, ses solutions sont exactement le noyau de phi.

D'accord, merci pour tes explications. Comme je fais la plupart des exos dans R^4, je n'ai pas l'habitude de travailler avec des fonctions

Au passage, n'hésite pas à me dire si ma rédaction n'est pas terrible. En tout cas, j'espère que tes yeux ne saignent pas trop.

Dim Im φ = Rang φ = 3

erreur de frappe désolé

Vect (f_3 , -f_2 + f_4 , -f_4) = Vect(f2 , f3 , f4), inutile de compliquer les choses.

C'est le bon résultat mais il faut le prouver. Déjà la dimension tu sais que c'est 3, par le théorème du rang. Donc si tu trouves 3 vecteurs linéairement indépendant appartenant à Im(phi), ce sera une base. Donc tout ce que t'as à faire c'est montrer que f2, f3 et f4 appartiennent à Im(phi) (on sait déjà qu'ils forment une famille libre). Pour f3 c'est évident puisque f3 = phi(f1). Pour f4 aussi puisque f4 = phi(-f4). Et f2 = phi(f4 - f2).

C'est peut-être le raisonnement que t'as fait mais il faut l'écrire, tu peux pas juste balancer le résultat.

Le 13 mai 2017 à 16:11:34 Prauron a écrit :
Vect (f_3 , -f_2 + f_4 , -f_4) = Vect(f2 , f3 , f4), inutile de compliquer les choses.

C'est le bon résultat mais il faut le prouver. Déjà la dimension tu sais que c'est 3, par le théorème du rang. Donc si tu trouves 3 vecteurs linéairement indépendant appartenant à Im(phi), ce sera une base. Donc tout ce que t'as à faire c'est montrer que f2, f3 et f4 appartiennent à Im(phi) (on sait déjà qu'ils forment une famille libre). Pour f3 c'est évident puisque f3 = phi(f1). Pour f4 aussi puisque f4 = phi(-f4). Et f2 = phi(f4 - f2).

C'est peut-être le raisonnement que t'as fait mais il faut l'écrire, tu peux pas juste balancer le résultat.

C'est vrai qu'on peut utiliser le théorème du rang, mais sachant que Dim Im (phi) = Vect(f2 , f3 , f4), on a un vecteur de dimension 3, donc c'est une justification valable ?

Sinon, merci pour tous les détails

Dans ce cas il faut prouver d'une autre manière que (f2,f3,f4) engendre Im phi.