Salut,

Je fais des exos pour m'entraîner, et je voudrais savoir comment faire pour trouver la dimension de l'espace vectoriel sur IR engendré par les trois fonctions :

sin (x) , sin (2x) , sin (3x) ?

Merci pour votre aide.

A ton avis quelle est cette dimension ?

Le 19 avril 2017 à 15:20:43 Prauron a écrit :
A ton avis quelle est cette dimension ?

Justement...

la dimension d'un espace c'est le cardinal d'une base de cet espace.

et là vu que c'est des fonctions comme l'a dit Prauron à ton avis

Indice : on représente ces fonctions sur un plan

Dans le plan ça me paraît assez difficile. Sachant qu'on a trois éléments, dans l'espace ça me semble plus sûr.

Tu sais que la famille (sin(x), sin(2x), sin(3x)) est libre ?

De là, tu peux en déduire la dimension de l'espace vectoriel engendré par cette famille, qui est le cardinal de cette famille

Bon, alors j'ai pas tout compris, mais j'ai essayé de décomposer les fonctions. J'ai donc :

sin(2x) = 2*sin(x)*cos(x)
sin(3x) = sin(2x)*cos(x)+cos(2x)*sin(x)

Mais je ne vois toujours pas comment justifier.

Montre que la famille est libre.

La famille est libre ssi :

a*sin(x) = 0
b*sin(2x)=0
c*sin(3x)=0

où a=b=c=0

Donc

b=0
c=0
a=0/sin(x)=0

Donc elle est bien libre.

Que dit ton cours?

Relis la définition d'une famille libre.

Soit {u_1...u_n} appartenant à E un e.v.

{u_1...u_n} est libre ssi pour tout a...a_n appartenant à K tel que a_1*u1 + ... + a_n*un = 0
alors a_1=a_2=...=a_n

Disons que je n'ai jamais utiliser cette définition avec des fonctions, du coup j'ai pas l'habitude

Bon alors tu dois commencer comme ça :
Soit (a,b,c) appartenant à R^3 tel que pour tout réel x, a*sin(x) + b*sin(2x) + c*sin(3x) = 0. Montrons que a = b = c = 0.

Indication : comme l'égalité doit être vraie pour tout x, t'as le droit de l'écrire pour quelques x bien choisis de façon à obtenir un système sur a, b et c...

Donc :

a*sin(x) + b*sin(2x) + c*sin(3x)=0

Si x = pi/2

a*sin(pi/2) + b*sin(pi) + c*sin(3pi/2) = 0
d'où
a*1 + b * 0 - c = 0
a = c

Si x = pi/3
Comme a=c

a*sin(pi/3) + b*sin(2*pi/3) + a*sin(pi) = 0
a*sqrt(3)/2 + 0 + a*0 = 0
a = 0

Donc a=c=0

Si x = pi/4

b*sin(2pi/4) = 0
b*sin(pi/2)=0
b=0

Donc a=b=c=0

Là c'est bon, où j'aurais pu faire plus court ?

sin(2pi/3) = 0 ?

Zut, c'est sqrt(3)/2

Du coup la 2nde étape donne a=-b

donc pour x = pi/4

a*sin(pi/4)-a*sin(pi/2)+a*sin(3pi/4) = 0
a*[sin(pi/4)-sin(pi/2)+sin(3pi/4)]=0
a*[sqrt(2)/2-1+sqrt(2)/2]= 0
donc a = 0
Donc a=b=c=0

Mais en quoi ça me donne la dimension du coup ?

a*[sin(pi/4)-sin(pi/2)+sin(3pi/4)]=0
a*[sqrt(2)/2-1+sqrt(2)/2]= 0

utilité de la 2eme ligne ?

Là c'est bon, donc t'as bien une famille libre, donc c'est une base de l'espace qu'elle engendre. Donc la dimension c'est le cardinal de la base, c'est 3.

Le 20 avril 2017 à 22:54:01 ForsseAtletik a écrit :

a*[sin(pi/4)-sin(pi/2)+sin(3pi/4)]=0
a*[sqrt(2)/2-1+sqrt(2)/2]= 0

utilité de la 2eme ligne ?

On se calme, je m'en suis rendu compte en l'écrivant.

Merci Prauron tu gères