Soit G un groupe fini dont tous les éléments sont d'ordre 1 ou 2. Montrer que |G| est une puissance de 2.

Quelqu'un aurait une idée ? Merci

Tu peux montrer qu'un tel G est abélien, puis montrer le résultat par récurrence sur l'ordre du groupe en quotientant par des sous-groupes d'ordre 2.

Ok c'est bon merci

Sinon, si tu sais ce qu'est un p-sylow, c'est immédiat.

C'est un spé, du calme.

Non je connaissais pas mais j'avais en effet conjecturé que ça devait être le cas, mais je savais pas comment le prouver.

Le 30 mars 2017 à 20:12:49 Hachino a écrit :
C'est un spé, du calme.

Dans ce cas, techniquement, il ne sait pas ce qu'est un groupe quotient, il me semble.

c'est de la sup

dans la classe d'Alain Troesch

Le 30 mars 2017 à 21:54:31 Wimp_Matiere a écrit :
c'est de la sup

dans la classe d'Alain Troesch

Et Alain Troesch a bien raison. Peut-on réellement prétendre faire des mathématiques si on ne sait pas ce qu'est un quotient ?
Je pense cependant qu'il faudrait aller plus loin et introduire les suites exactes au programme de prépa.

Le 30 mars 2017 à 21:54:31 Wimp_Matiere a écrit :
c'est de la sup

dans la classe d'Alain Troesch

en plus on a vraiment eu un DM super long sur les p-silow
et un exo sur la question de l'auteur
il était dans les exos faciles

Le 30 mars 2017 à 22:02:05 CicatriceGamer a écrit :

Le 30 mars 2017 à 21:54:31 Wimp_Matiere a écrit :
c'est de la sup

dans la classe d'Alain Troesch

en plus on a vraiment eu un DM super long sur les p-silow
et un exo sur la question de l'auteur
il était dans les exos faciles

Ça ne sert à rien pour les concours mais on se sent magnoludovicien.

Le 30 mars 2017 à 22:04:50 Dagnyr a écrit :

Le 30 mars 2017 à 22:02:05 CicatriceGamer a écrit :

Le 30 mars 2017 à 21:54:31 Wimp_Matiere a écrit :
c'est de la sup

dans la classe d'Alain Troesch

en plus on a vraiment eu un DM super long sur les p-silow
et un exo sur la question de l'auteur
il était dans les exos faciles

Ça ne sert à rien pour les concours mais on se sent magnoludovicien.

ah bon ça sert à rien ?

Les p-Sylow, non, sûrement pas. Y'a bien un exo X sur le théorème de Cauchy pour les groupes et un ENS sur l'abélianité des groupes d'ordre $p^2$ avec $p$ premier, mais c'est le plus avancé que j'aie vu passer.

Le 30 mars 2017 à 22:09:33 CicatriceGamer a écrit :

Le 30 mars 2017 à 22:04:50 Dagnyr a écrit :

Le 30 mars 2017 à 22:02:05 CicatriceGamer a écrit :

Le 30 mars 2017 à 21:54:31 Wimp_Matiere a écrit :
c'est de la sup

dans la classe d'Alain Troesch

en plus on a vraiment eu un DM super long sur les p-silow
et un exo sur la question de l'auteur
il était dans les exos faciles

Ça ne sert à rien pour les concours mais on se sent magnoludovicien.

ah bon ça sert à rien ?

Ah dur, je pensais que tu le savais.

Non, ça sert à rien pour les concours les p-sylows. J'irais pas jusqu'à mettre ma main à couper que ça ne tombera jamais, mais les chances sont tellement faibles que ça ne serait pas moins rentable de faire un DM sur le pfaffien.
En plus la preuve de l'existence des p-sylow n'est pas particulièrement passionnante je trouve.

J'ai pensé à un truc du style hier
Dans un groupe fini, l'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe.
Donc 2 divise |G|

Tu supposes par l'absurde que |G| = (2^n)*p où p prmier distinct de 2
donc d'après th. de cauchy G admet un élemet d'ordre p => absurde.

Quelqu'un peut confirmer ?

Le 30 mars 2017 à 22:22:49 wowdu77 a écrit :
J'ai pensé à un truc du style hier
Dans un groupe fini, l'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe.
Donc 2 divise |G|

Tu supposes par l'absurde que |G| = (2^n)*p où p prmier distinct de 2
donc d'après th. de cauchy G admet un élemet d'ordre p => absurde.

Quelqu'un peut confirmer ?

Oui, si tu considères le théorème de Cauchy comme connu, le résultat en découle.
Mais typiquement, en prépa, c'est pas du cours, Cauchy. (enfin, pas ce théorème là, de Cauchy...)

Ça a l'air de marcher (j'en ficherais pas ma main à couper ceci dit, c'est un peu loin tout ça), au détail près que $|G| = m2^n$ avec $m$ premier à $2$ et $p$ est un diviseur premier de $m$.

Déjà que le théorème de Lagrange l'est pas

Il y a le HP classique, le HP un peu limite et le HP hors-sujet. Les p-Sylow, c'est hors-sujet.

Ou alors tu munies ton groupe d'une structure de Z/2Z espace vectoriel modulo quelques calculs un peu chiantes.