(En utilisant le même raisonnement, sachant que lorsque tu as $f(x) = P_{n}(x) + o(x^{n})$, alors $f'(x) = P'_{n}(x) + o(x^{n-1})$

Justement, mais mon prof m'a dit que dans le cas général, on n'avait pas le droi de dériver les DLs

Je sais pas si c'est utile mais on peut trouver une relation de récurrence sur la suite P_n.

Le 31 janvier 2017 à 20:52:24 Prauron a écrit :

mais le prof nous a dit qu'on peux pas dériver de DL

En effet, mon prof m'aurait détruit si j'avais dérivé un DL.

Par contre je vois pas comment t'as un polynôme en 1/x.

Bah j'ai testé avec les 3 premières dérivées , j'ai du 1/x^3

GhostlnTheShell : Ton prof a raison, mais après là on n'est pas dans le cas général hein.

Du coup, tu prends Taylor Young, et tu démontres que ça marche.

Je me doute bien que je dois avoir une CNS qui me permettrait de dériver les DLs, mais je sias pas c'est laquelle, ni pourquoi elle est vérifiée par ma fonction

Ça marche si t'as l'existence de la dérivée n-ème en 0.

Moi aussi j'ai vérifié sur les 3 premières dérivées.
On a P1(x) = x-1 , P2(x) = (x-1)^2 , P3(x) = (x-1)(x^2 - 2x +3)

Ouais ben du coup je peux pas l'utiliser pour prouver ça alors

elle est développable en série entière donc C infinie

Ouais bon je me suis peut-être planté dans les dérivées. Par contre je suis sûr que c'est bien un polynôme en x, et que
$$P_{n+1}(x) = xP_n'(x) + (x - (n+1))P_n(x)$$
même si c'est probablement inutile.

Pour la $n+1$ ème fois, il a pas vu les séries entières.

Le 31 janvier 2017 à 21:16:41 Prauron a écrit :
Pour la $n+1$ ème fois, il a pas vu les séries entières.

Prauron, dérive une fois, t'auras un polynôme en 1/X

Au pire bourrine comme un détraqué la formule de Leibniz sur la dérivée de x -> exp(x)/x?

Non mais au numérateur t'as bien un polynôme en x, le truc de Prauron est juste je vois pas ce que tu comprends pas Ghost

Sinon je vais essayer de faire les calculs je pense que ça doit être possible de s'en sortir avec le truc de Prauron justement.

Si tu fais le DL de exp à l'ordre n+1 dans sa formule doit y avoir moyen de montrer que tous les termes s'annulent sauf celui en x^(n+1) qui nous donne la limite en 0 (le coeff devant).

Donc je propose une récurrence puisqu'on a une formule de récurrence pour le polynome.

Ah ok, j'ai pas vu la fraction ,

et $\frac 1x \int_0^x \frac{(x-t)^n}{n!}e^t dt$ ça se manipule pas bien ?

De plus $P_n(0) = (-1)^n n! = -(-1)^{n+1} n!$

Franchement, stop se casser la tête :
via Taylor-Young, en 0 :
$e^{x}-1= \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!} + x^{n+1}\epsilon (x)$, et comme cette formule est valable pour tout $n$, on est bien dans le cas où l'on peut dériver le DL, et ce autant qu'on veut.

Quand tu divises par $x$, ta somme reste dérivable, et tu en déduis la convergence.

on est bien dans le cas où l'on peut dériver le DL

J'ai envoyé un mail à mon prof et il m'a répondu, il m'a dit oui, mais pour toi non

GhostlnTheShell : Ha, le petit troll.

Bon, bah du coup je te conseille une récurrence avec une relation entre les polynômes comme indiqué par Prauron, c'est plus long mais tu devrais t'en sortir.